2007文都考研数学春季班高数讲义.pdf

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1、第一讲函数、极限、连续性A．基本内容B．重点C．典型例题解析例1：“客观题”P4（见本讲义补充内容）1、3、4、6、14、16、20、21、29．例2：“客观题”P6（见本讲义补充内容）2、6、8、17、18、21、22．⎧x+1

2、x

3、≤1⎧x

4、x

5、≤2例3：设f(x)=⎨，g(x)=⎨⎩0

6、x

7、>1⎩2−x

8、x

9、>2求：f[g(x)]⎧g(x)+1

10、g(x)

11、≤1解：f[g(x)]=⎨⎩0

12、g(x)

13、>1（1）当

14、x

15、≤2，

16、g(x)

17、=

18、x

19、≤1即：

20、x

21、≤1时f[g(x)]=x+1（2）当

22、x

23、>2，

24、g(x)

25、=

26、

27、2−x

28、≤1即：2

29、x

30、≤2，

31、g(x)

32、=

33、x

34、>1，即：−2≤x<−1∪1

35、x

36、>2，

37、g(x)

38、=

39、2−x

40、>1，即：x>3∪x<−2时，f[g(x)]=0⎧0x<−2⎪0−2≤x<−1⎪⎪⎪x+1−1≤x≤1∴f[g(x)]=⎨⎪01

41、22(x+1+x)2030(2x+1)(3x−2)例5：lim50x→+∞(4x+3)xxx例6：limcoscos"cos(x≠0)2nn→+∞222xxxxcoscos"cos⋅sin2nn2222=limn→∞xsinn21xsinx2n2nsinxsinx=lim=lim⋅=n→∞xn→∞xxxsinsinn22例7：求下列极限11．lim(2sinx+cosx)xx→012sinx+cosx−1⋅解法一：原式=lim[1+(2sinx+cosx−1)]2sinx+cosx−1xx→0lim(2sinx+cosx

42、−1)/x=ex→0=e21ln(2sinx+cosx)2cosx−sinxlimlim解法二：原式=ex→0x=ex→02sinx+cosx=e2x−sinx2．limx→0arcsinxln(1+x)(ex−1)x−sinx1−cosx1=lim=lim=或用泰勒公式展开x→0x3x→03x261(1+x)x−ee例8：lim=−x→0x21+x+1−x−21例9：lim=−2x→0x4⎡12n⎤1例10：求lim++"+=n→∞⎢⎣n2+n+1n2+n+2n2+n+n⎥⎦21a例11：已知x>0，x=(x+)(a>

43、0)0nn−12xn−1证明：limx存在并求limxnnn→∞n→∞122x+x−1例12：设f(x)=exarctan，求f(x)的间断点并分类(x+1)(x−2)2n1−x例13：讨论lim·x的连续性，若有间断点，判别其类型．2nn→∞1+x例14：若对任意x,x∈(0,+∞)，有f(xx)=f(x)+f(x)，且f(x)在x=1处连续。121212证明：对一切x∈(0,+∞)f(x)连续．例15：设f(x)在[a,b]上连续且f(a)>a，f(b)

44、a,b]上连续，且a0例3：设f(x)=⎨x，求f′(0)⎪⎩ln(1+x)x≤0例4：设f(x)=(x−a)ϕ(x)，其中ϕ(x)在x=a处连续，求f′(a)例5：设f

45、(x)是在

46、x

47、0为常数）内的偶函数且f′(0)存在，证明：f′(0)=0222例6：设f(x)=x(x+1)(x+2)"(x+100)，求f′(0)例7：求下列函数的导数4cosxxx+2(3−x)1．y=x+(cosx)2．y=5(1+x)2y22dy例8：求由方程arctan=lnx+y所确定的函数y=y(x)的2xdx22(100)例9：设f(x)=(x+1)cosx，求f(0)1(n)例10：设y=，求y．2x−5x+6−x⎧g(x)−e⎪x≠0例11：设f(x)=⎨x⎪⎩ax=0其中g(x)有二阶连

48、续导数，g(0)=1，g′(0)=−1．（1）当a为何值时，f(x)在x=0处连续．（2）在连续时，f(x)在x=0处是否可导？⎧x=arctantdy例12：设y=y(x)由⎨所确定，求并求曲线在t=0处的切线方程2t⎩2y−ty+e=1dx第三讲中值定理与导数的应用A．基本内容B．重点C．典型例题解析例1：“客观