考研高数数学讲义.pdf

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1、第一篇高等数学第一章函数、极限与连续一、大纲内容与要求【大纲内容】函数的概念及表示法函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性复合函数、反函数、分段函数和隐函数基本初等函数的性质及其图形初等函数函数关系的建立数列极限与函数极限的定义及其性质函数的左极限与右极限无穷小量和无穷大量的概念及其关系无穷小量的性质及无穷小量的比较极限的四则运算极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则两个重要极xsinx1限：lim1，lim1e.函数连续的概念函数间断点的类型初等函数的连续性闭x0xxx区间上连续函数的性质.【大纲要求】1．理解函数的概念，掌握函数的表示法，并会建立应用问题的函数关系

2、.2．了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性.3．理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念.4．掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念.5．理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与左、右极限之间的关系.6．掌握极限的性质及四则运算法则.7．掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法.8．理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的比较方法，会用等价无穷小量求极限.9．理解函数连续性的概念(含左连续与右连续)，会判别函数间断点的类型.10.了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质(有界性、

3、最大值和最小值定理、介值定理)，并会应用这些性质.1二、知识网络函数有界性、单调性、奇偶性、周期性“N”定义极限概念“X”定义“”定义唯一性数列整体有界极限性质有界性函数局部有界保号性极限四则运算法则等价无穷小替换变量替换0型、型0洛必达法则型、0型00转换1、、0型单调有界数列有极限极限存在准则夹逼定理极限求极限的n1lim1e主要方法nn两个重要的极限sinxlim1函数的连续性x0x用导数的定义带皮亚诺余项的泰勒公式用函数极限求数列极限用定积分定义求某些和式的极限利用级数相关理论求极限(数一、三)无穷小量与无穷大量的定义、关系无穷小

4、量的运算性质无穷小量无穷小量与极限的关系无穷小量的比较初等函数的连续性有界性定理连续的概念分段函数连续性的判定零点定理闭区间上连续函数的性质最值定理连续性介值定理跳跃间断点第一类——左右极限都存在间断点的分类可去间断点第二类——左右极限中至少有一个不存在2三、基本内容(一)函数1．定义设x与y是两个变量，D是实数集的某个子集，若对于D中的每个值x，变量y按照一定的法则有一个确定的值y与之对应，称变量y为变量x的函数，记作yfx()．数集D称为函数的定义域，由函数对应法则或实际问题的要求来确定，相应的函数值的全体称为函数的值域，对应法则和定义域是函数的两个要素.2．几种特性(1)有界性设函数y

5、fx()在数集X上有定义，若存在正数M，使得对于每一个xX，都有fx()M成立，称yfx()在X上有界，否则，即这样的M不存在，称fx()在X上无界．所以函数在X上无界，是对任何M0，总存在xX，使fx()M．00(2)单调性设函数yfx()在区间I上有定义，若对于I上任意两点x与x，当xx时，1212均有fx()fx()[或fx()fx()]，称函数fx()在区间I上单调增加(或单调减少)．如果1212其中的“<”(或“>”)改为“≤”(或“≥”)，称函数fx()在I上单调不减(或单调不增)．(3)奇偶性设函数yfx()的定义域为(aaa,)(0)，若对于任一x

6、(aa,)，都有2f(x)fx()，称fx()为偶函数，如常数Cx,,cosx等，其图像关于y轴对称;若对于任一3x(aa,),都有f(x)fx()，称fx()为奇函数，如xx,,sinx等，其图像关于坐标原点对称．(4)周期性对函数yfx()，若存在常数T0，使得对于定义域内的每一个xxT,仍在定义域内，且有fxT()fx()，称函数yfx()为周期函数，T称为fx()的周期．3．复合函数、反函数、隐函数与分段函数(1)基本初等函数与初等函数基本初等函数常数函数;幂函数;指数函数;对数函数;三角函数;反三角函数.初等函数由基本初等函数经过有限次的加、减、乘、除和复

7、合所得到且能用一个解析式表示的函数.(2)复合函数设函数yfu()的定义域为D，函数ux()的值域为z，若集合D与ffz的交集非空，称函数yf[()]x为函数yfu()与ux()复合而成的复合函数，u为中3间变量．对复合函数，重要的是会把它分解，即知道它是由哪些“简单”函数复合而成的．(3)反函数设函数yfx()的值域为z，定义域为D，则对于每一个yz必存在fffxD使y