(最新)2015年考研－高数春季班讲义第一讲

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1、2007水木艾迪考研辅导基础班清华东门外创业大厦1006电话：62701055基础班微积分第1章预备知识函数概念数列极限1.1预备知识1.1.1实数集的性质实数连续性的描述:确界公理任何有界实数集合，必有最小上界和最小下界；但不一定有最大数或最小数。1.1.2绝对值y=x是一种函数表达形式，对任意实数x有⎧−xx<0⎪⎧−xx<0y=x=⎨0x=0，或记为y=x=⎨⎪⎩xx≥0⎩xx>0对任意实数x与a≥0有：x≤a⇔−a≤x≤a，并且，若a=0，则必有x=0。而x≥a⇔x≥a或x≤−a。1.1.3基本不等式（1）绝对值不等式：∀x,y∈R有−x

2、≤x≤x,0≤x+x≤2x且22222x+y≤(x+y)或x+y≤x+y（2）三角不等式：∀x,y∈R，有x+y≤x+y且x−y≥x−y。122（3）平均值不等式：∀x,y∈R，有(x+y)≥xy21若x≥0,y≥0，则有(x+y)≥xy22222例如∀x,y∈R，可证明：x+y≤x+y≤(2x+y)。2222x+y=x+y+2xy≤(2x+y)2222x+y≤x+y≤(2x+y)π（4）对任意实数x∈[0,)有sinx≤x≤tanx2bb−1n(5)其他不等式:1)a>b>1⇒>;2)a≥−1⇒(1+a)>1+na,n为正整aa−1mm+k数；

3、3）对n>m即k>0有<。nn+k刘坤林谭泽光编水木艾迪考研培训网1网址：www.tsinghuatutor.com电话627960322007水木艾迪考研辅导基础班清华东门外创业大厦1006电话：62701055对以上不等式在应用中都应广义化，例如∀x,y∈R，有sin(x+y)−cos(x−y)≤sin(x+y)+cos(x−y)。因为sin(x+y)与cos(x-y)均为实数，由不等式（4）即有本题不等式。2222又如∀x,y∈R可证明：x+y≤x+y≤(2x+y)。2222因为x+y=x+y+2xy≤(2x+y)，所以得到2222x+y≤

4、x+y≤(2x+y)1.1.4邻域与区间定义1.1邻域数轴上的点x的δ邻域是指点集N(x,δ)={xx−x<δ,δ>}0。000邻域内的点是由不等式x−δ}。000去心邻域与邻域的区别仅在于不包括x点。0区间:开区间(a,b)={}xaa,x∈R与[a,+∞)={xx≥a,x∈R}，(−∞,+∞)={}xx∈R，与(−∞,b)={

5、xx

6、有时也记为f:X→Y,X⊆R，或f:X→R,X⊆R。在微积分这门课程里，对一个函数的表达，除了用代数表达式及图表以外，还会有许多刘坤林谭泽光编水木艾迪考研培训网2网址：www.tsinghuatutor.com电话627960322007水木艾迪考研辅导基础班清华东门外创业大厦1006电话：62701055重要的表达方式，比如，一个函数关系可以由方程（隐函数）、（含参数）极限、微分方程、积分、级数等手段来表达。1.2.1函数的初等性质掌握函数的初等性质对微积分的学习至关重要。函数的初等性质包括以下几个方面。(1)增减性（单调性）定义1.3设函数y

7、=f(x)定义域为X，若∀x,x∈X，当x

8、时，则称y=f(x)为奇函数。广义奇偶性（偶对称与奇对称）若y=f(x)的图形有对称轴x=a，则应有f(a−x)=f(a+x)（将视为参