24届高数竞赛

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1、中国石油大学（华东）第二十四届高等数学竞赛试卷专业年级：学号：姓名：成绩：页号一二三四五六总分得分阅卷人说明：1.本试卷正文共6页。2.封面及题目所在页背面及附页为草稿纸。3.答案必须写在该题后的横线上，解题过程写在下方空白处，不得写在草稿纸中，否则答案无效。中国石油大学（华东）教务处、数学学院主办基础数学系承办2010年6月6日一、填空题（每小题4分，本题共20分）：本页满分40分本页得分1、。2、设，则=。3、设L为沿抛物线y=x2上从点(1，1)到点(2，4)的一段曲线弧，则对坐标的曲线积分可化成对弧

2、长的曲线积分___________，其中P(x,y)和Q(x,y)是在L上的连续函数。4、设，则=。5、。二、选择题（每小题4分，本题共20分）：1、()2、()3、方程的根的个数()(A)0(B)1(C)2(D)34、若曲线在对应于点处的切线与平面交角的正弦值是()(A)(B)(C)0(D)15、设C表示椭圆，其方向为逆时针方向，则曲线积分()(A)πab(B)0(C)a+b2(D)－πab2本页满分14分本页得分三、计算下列各题（每小题7分，本题共42分）：1、设二阶连续可微，且，试确定，使曲线积分与路

3、径无关。2、计算表达式本页满分14分本页得分3、设，计算积分4、设连续，且满足，计算积分本页满分14分本页得分5、计算二重积分，其中D是由直线及上半圆周所围成的区域.6、计算，其中L是圆周沿正向从点到点的一段圆弧.本页满分12分本页得分四．证明题：（每小题6分，本题共18分）：1、设在[0，1]上连续，且。证明在（0，1）内至少存在一点，使得。2、设连续，且，证明：在内至少有一个零点。本页满分6分本页得分3、证明:由及轴所围的平面图形绕轴旋转一周所形成的立体对轴的转动惯量 (密度=1) 为 其中是连续的正值

4、函数.中国石油大学（华东）第二十四届高等数学竞赛试题答案一、填空题（每小题4分，本题共20分）：1、。2.设，则=0。3.设L为沿抛物线y=x2上从点(1，1)到点(2，4)的一段曲线弧，则对坐标的曲线积分可化成对弧长的曲线积分___________，其中P(x,y)和Q(x,y)是在L上的连续函数。4.设，则=0。5、。二、选择题（每小题4分，本题共20分）：1、(C)2、(A)3、方程的根的个数(B)(A)0(B)1(C)2(D)34、若曲线在对应于点处的切线与平面交角的正弦值是(A)(A)(B)(C)

5、0(D)15、设C表示椭圆，其方向为逆时针方向，则曲线积分(B)(A)πab(B)0(C)a+b2(D)－πab2三、计算下列各题（每小题7分，本题共42分）：1、设二阶连续可微，且，试确定，使曲线积分与路径无关。解由曲线积分与路径无关的条件得即积分两次得代入条件，得故所求函数为：2、计算表达式解3、设，计算积分解4、设连续，且满足，计算积分解在中令，有在中令，则从而5、计算二重积分，其中D是由直线及上半圆周所围成的区域.解积分域D如图所示，可表示为，则.6、计算，其中L是圆周沿正向从点到点的一段圆弧.解，

6、积分与路径无关，选折线段为积分路径..四．证明题：（每小题6分，本题共18分）：1、设在[0，1]上连续，且。证明在（0，1）内至少存在一点，使得。证明：设：F（x）=x,x(2分)F（x）在[0，1]连续，（0，1）可导，且F（0）＝F（1）＝0由罗尔定理：即：2、设连续，且，证明：在内至少有一个零点。证明：由积分中値定理，存在使得因，所以，于是存在使得，同理存在使得，由零点定理存在，使得3、证明:由及轴所围的平面图形绕轴旋转一周所形成的立体对轴的转动惯量(密度=1)为.其中是连续的正值函数.证明：曲线弧

7、y=f(x)绕x轴旋转一周所形成的旋转曲面为，则其中  （用“先二后一法”）（令则）