第九章定积分

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1、第九章定积分P.206习题1．按定积分定义证明：证明对的任一分割T：，其Riemann和为，所以当分割的模时，积分和的极限为，从而2．通过对积分区间作等分分割，并取适当的点集，把定积分看作是对应的积分和的极限，来计算下列定积分：⑴解因为在连续，故在的定积分存在。现在将等分，其分点为：，，取为小区间的右端点，于是Riemann和为，所以⑵解因为在连续，故在的定积分存在。现在将等分，其分点为：，，取为小区间的右端点，于是Riemann和为（因为，所以），从而⑶解因在连续，故在可积，将等分，其分点为：，，取为小区间的右端点，于是Riemann和，所以⑷（）解因在连续，故在

2、可积，对的任一分割，取（），于是Riemann和所以P.209习题1．计算下列定积分：⑴⑵⑶⑷⑸⑹⑺解令代入得，⑻2．利用定积分求极限：⑴⑵⑶⑷3．证明：若在上可积，在上连续，且除有限个点外有，则有证设除有限个点：外有.对于的任一分割，设是分割添加分点后所得到的分割，设的分点为：.在每个小区间上对使用Lagrange中值定理，则分别存在，使得所以.P.215习题1．证明：若是增加若干个分点后所得的分割，则.证不失一般性，这里只证明是增加一个分点的情形.在上增加一个新分点，它必落在的某一个小区间内，而且将分为两个新的小区间，记为与.但的其它小区间没有改变，仍是新分割所

3、属的小区间，从而与的差别仅仅是中的一项换成了中的与两项（这里与分别是在与上的振幅，显然，），所以即2．证明：若在上可积，，则在上也可积.证因在上可积，所以对任给的，存在分割，使得.设是增加分点，后所得的分割，于是有.记限制在区间上的分割为，则有，所以由定理9.3’，在上可积.3．设、均为定义在上的有界函数.证明：若仅在中有限个点处，则当在上可积时，在上也可积，且证设在上可积，，在中有限个点：处，，令.因在上可积，对任给的，存在（不妨设），使得当分割的模时，.从而所以4．设在上有界，，.证明：若在上只有（）为其间断点，则在上可积.证设为在上的振幅，对任给的，取则在上只

4、有有限个间断点，于是在上可积，从而存在区间的分割，使得在上的振幅和；同样，在上只有有限个间断点，在上也可积，存在区间的分割，使得在上的振幅和.最后把分割和与小区间合并，构成区间的分割，在上的振幅和所以在上可积.5．证明：若在区间上有界，则，，证明证明方法与P.22，第16题相同.P.222习题1．证明：若与都在上可积，则，其中是所属小区间中的任意两点，.证因为，于是对任给的，存在，当时，.因为在上可积，所以有界，即存在，使得对任何都有.又因为在上可积，故存在，当时，使得在上的振幅和.现在取，当时，所以2．不求出定积分的值，比较下列各对定积分的大小.⑴与解因为在上与都

5、连续，且，所以⑵与解因为在上与都连续，且，所以3．证明下列不等式：⑴证因为在上，，所以从而⑵证因为在上，，所以⑶证因为在上，（P.125，习题7⑵），所以⑷证设，先求在上的最大值和最小值.因为，得稳定点.计算在稳定点和区间端点处的函数值，，.比较可知在上的最大值为，最小值为，所以在上，从而4．设在上连续，且不恒等于零，证明证设有，使得，于是.因为在上连续，由连续函数的局部保号性，存在的某邻域（当或时，则为右邻域或左邻域），使得在其中.从而5．设与都在上可积，证明，在上也都可积.证因为，，所以，在上也都可积.6．试求心形线，上各点极径的平均值.解所求平均值为7．设在上

6、可积，且在上满足.证明在上也可积.证因在上可积，对任给的，存在分割，使得.对于分割所属的每一个小区间，在上的振幅所以，因此在上可积.8．证明积分第一中值定理中的中值点证反证法.假设对任何，都有.则由在的连续性，知对任何，恒有（或），从而有（或），这与矛盾.类似地可证明定理9.8的情形.9．证明：若与都在上可积，且在上不变号，分别为在上的上、下确界，则必存在某实数（），使得证不妨设，.于是，，从而.若，则由上式知，于是对任何，结论都成立.若，则，令，知，且.10．证明：若在上连续，且，则在内至少存在两点，使.又若，这时在内是否至少有三个零点？证由积分第一中值定理（习题

7、8），存在，使得，所以有.令，则，在上连续.假设对任何，及都有，则由在上连续，知在上恒正（或恒负），在上恒负（或恒正），从而在上恒负（或恒正），在上恒负（或恒正），于是且，所以（或且，），这与矛盾，故至少存在一点，，使得，从而.11．设在上二阶可导，且.证明：⑴⑵又若，，则又有，.证⑴由P.149公式（5），对任何有，，取，并在上积分，得所以⑵12．证明：⑴⑵证⑴因为单调递减，所以有取，依次相加，得所以⑵因为，所以，从而P.233习题1．设为连续函数，为可导函数，且可实行复合与.证明：证2．设在上连续，.证明，.证所以3．求下列极限：⑴⑵4．计算下列定积分⑴⑵解