定积分、分段函数积分

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1、1、定积分基本概念。(如何求这个曲边梯形的面积)①先在[a,b]插入n-1个点a=x0<x1<x2<…<xn=b.把[a,b]平均分成n个小区间[x0,x1],[x1,x2],…,[xn-1,xn],每个小区间的长度为Δx=xi-xi-1(i=1,2,…,n).②任意取第i个小曲边梯形,当底边长Δx足够小时,曲边梯形可以看作是小矩形。若取区间[xi-1,xi]内的一点ξ,,把f(ξi)作为第i个小矩形的高,则第i个小曲边梯形面积的近似值为:ΔSi≈f(ξi)Δx.③整个曲边梯形面积近似为.④当n→∞即△x→0时,面积就可以用来计算⑤这时我们把面积的值S

2、叫作是f(x)在区间[a,b]上的定积分记作,即其中f(x)叫做被积函数,f(x)dx叫做被积表达式,x叫做积分变量,a叫做积分下限,b叫做积分上限,[a,b]叫做积分区间.2.定积分的运算(1);(2)(k为常数);(3)(4)(其中a<c<b3、定积分的几何意义根据前面的定义及无限分割求面积的思想,定积分在几何上表示:曲线y=f(x)、两条直线x=a、x=b与x轴所围成的曲边梯形的面积。5若f(x)在x轴的下方,如图:那么定积分算到的值是面积的负值(其实我们要乘以一个负号才能得到原来的面积)5、微积分基本定理一般的,如果是闭区间上的连续函数,并且,

3、F(x)称为f(x)的原函数,那么,我们可以把记作,即.6、定积分的基本性质若是[-a,a]上的奇函数,则;若是[-a,a]上的偶函数,则.【类型一】用几何面积分求积分1.已知f(x)为偶函数且f(x)dx=8,则f(x)dx等于(  )A.0B.4C.8D.162.根据推断,直线所围成的曲边梯形的面积时,正确结论为()。A.面积为0B.曲边梯形在x轴上方的面积大于在x下方的面积C.曲边梯形在x轴上方的面积小于在x下方的面积B.曲边梯形在x轴上方的面积等于在x下方的面积3.用几何意义进行求解(1);(2);(3);(4).54.定积分等于()。A.B.

4、C.D.【类型二】用积分与导数的关系分析积分1.()A.B.C.D.2、已知,则等于()A、0B、2C、D、3、()A.B.C.D.4、定积分的值为()A.1B.ln2C.D.5、若则实数等于A.B.1C.D.6.=()。A.B.2eC.D.7、;8、.9.计算以下定积分(1)(2)5(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9);(10)10.一物体以速度在x轴做直线运动(以x轴方向为正方向),则它在t=0s到t=4s时间段内的路程是;11.已知自由落体运动的速率,则落体运动从到所走的路程为()。A.B.C.D.【类型三】分段函数求积分设则的值为()A.

5、B.C.D.5设,则的值为;3、设,则4、已知,且为偶函数,求5

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