定积分积分上限函数

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1、第四节定积分的概念◆定积分的概念引例1——曲边梯形的面积（演示）其中设物体的运动速度引例2——变速直线运动的路程细分取近似值作和取极限（1）ti-1ti(2)取近似值（3）作和（4）取极限T1T2vt曲边梯形面积A：变速运动的路程S：记为记为◆定积分的概念（演示）1.若函数在上连续，2.若函数在上有界，且只有有限个间断点，◆定积分存在的充分条件则在上可积。则在上可积。有界是函数在区间[a,b]上可积的必要条件。表示曲线与x轴围成的图形面积的代数和。表示曲线与x轴围成的图形面积。◆定积分的几何意义（演示）abA1A2A3若是奇函数，则若是

2、偶函数，则a-a◆定积分的几何意义-aa◆定积分几何意义的应用14281730xy-33◆定积分几何意义的应用把区间分成n等份，每份长，各分点是：解因为在上连续，所以存在例用定义求定积分补充规定：abxx+dx◆定积分的基本性质无论a,b,c的相对位置如何，（3）式均成立。可推广至有限个函数的代数和的情形。bca···acb···◆定积分的基本性质若则其中是的最小值，是的最大值。设在上连续，则在上至少有一点使（定积分之中值定理）◆定积分的基本性质几何演示几何演示如果变速直线运动物体的运动方程是S=S(t)，则在时间段[T1,T2]内所发

3、生的位移变化为S(T1)-S(T2)如果物体的运动方程为V=V(t)，则由定积分可知连续函数在区间上的定积分等于它的一个原函数在积分区间上的增量◆微积分基本公式启示而？由的任意性，得◆积分上限函数及其导数若在上连续，，定积分是积分上限的函数，称为函数在区间上的积分上限函数，记作，即定理如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，则积分上限函数是f(x)在[a,b]上的一个原函数。证明（积分中值定理，介于与之间）例1求下列函数的导数解解练习解（1）（2）例1求下列函数的导数解解练习（3）例1求下列函数的导数练习解解（4）例1求下列函数的导数练

4、习解解（5）特别地一般地设在区间上连续，是它的任意一个原函数，则有◆微积分基本公式——牛顿—莱布尼兹公式证明思路记作例2求下列定积分解因为在上连续，是它的一个原函数所以解原式或解原式解原式几何意义解原式几何意义解原式解原式合理应用对称区间上奇偶函数的积分性质，简化定积分的计算。解设，求分段函数的积分计算，应分区间选取相应的函数函数在x=1处间断？×解原式积分变量变，积分区间变若是奇函数，则若是偶函数，则a-a◆定积分的几何意义是偶函数，是奇函数。-aa偶函数奇函数再见！