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《数学分析》第九章定积分》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。
1、第9章定积分（22时）§1定积分的定义（2时）一．背景：1.曲边梯形的面积:2.变力所作的功:3.函数的平均值:4.原函数的构造型定义:([1]P274—277)二.定积分的定义:三.举例:例1已知函数在区间上可积.用定义求积分.解取等分区间作为分法,.取.=.由函数在区间上可积,每个特殊积分和之极限均为该积分值.例2已知函数在区间上可积,用定义求积分.解分法与介点集选法如例1,有.上式最后的极限求不出来,但却表明该极限值就是积分.例3讨论Dirichlet函数在区间上的可积性.Ex[1]P2041，2.88§2可积条件（3时）一.必要条件:Th1，在区间上有界.
2、二.充要条件:1.思路与方案:思路:鉴于积分和与分法和介点有关,先简化积分和.用相应于分法的“最大”和“最小”的两个“积分和”去双逼一般的积分和,即用极限的双逼原理考查积分和有极限,且与分法及介点无关的条件.方案:定义上和和下和.研究它们的性质和当时有相同极限的充要条件.2.Darboux和:以下总设函数在区间上有界.并设,其中和分别是函数在区间上的下确界和上确界.定义Darboux和,指出Darboux和未必是积分和.但Darboux和由分法唯一确定.分别用、和记相应于分法的上（大）和、下（小）和与积分和.积分和是数集(多值).但总有,因此有.和的几何意义.3.
3、Darboux和的性质:本段研究Darboux和的性质,目的是建立Darboux定理.先用分点集定义分法和精细分法:表示是的加细.性质1若,则,.即:分法加细,大和不增,小和不减.性质2对任何,有,.即:大和有下界,小和有上界.性质3对任何和,总有.即:小和不会超过大和.证.性质4设是添加个新分点的加细.则有+,88.证设是只在中第个区间内加上一个新分点所成的分法,分别设,,.显然有和.于是.添加个新分点可视为依次添加一个分点进行次.即证得第二式.同理可证第一式.推论设分法有个分点，则对任何分法，有，.证..4.上积分和下积分:设函数在区间上有界.由以上性质2，有
4、上界,有下界.因此它们分别有上确界和下确界.定义记,.分别称和为函数在区间上的上积分和下积分.对区间上的有界函数,和存在且有限,.并且对任何分法,有.上、下积分的几何意义.88例1求和.其中是Dirichlet函数.5.Darboux定理:Th1设函数在区间上有界,是区间的分法.则有=,=.证(只证第一式.要证:对使当时有.是显然的.因此只证.)对,使<设有个分点,对任何分法,由性质4的系,有,由*式,得<即<亦即<.于是取,(可设,否则为常值函数,=对任何分法成立.)对任何分法,只要,就有.此即=.6.可积的充要条件:Th2(充要条件1)设函数在区间上有界.=.
5、证设=,则有=.即对使当时有
6、
7、<对成立.在每个上取,使,于是,88
8、
9、=<.因此,时有
10、
11、
12、
13、+
14、
15、<+=.此即=.由Darboux定理,=.同理可证==.对任何分法,有,而===.令和的共值为,由双逼原理=.Th3有界.对.证()=0.即对时,.,由–,=.定义称为函数在区间上的振幅或幅度.易见有0.可证=Th3’(充要条件2)有界.对.Th3’的几何意义及应用Th3’的一般方法:为应用Th3’,通常用下法构造分法:当函数在区间上含某些点的小区间上作不到任意小时,可试用在区间上的振幅作的估计,有.此时,倘能用总长小于,否则为常值函数)的有限个小区间复盖这些点，
16、以这有限个小区间的端点作为分法88的一部分分点，在区间的其余部分作分割，使在每个小区间上有<,对如此构造的分法,有<.Th4((R)可积函数的特征)设在区间上有界.对和,使对任何分法,只要,对应于的那些小区间的长度之和.证在区间上可积,对和,使对任何分法,只要,就有.对的区间总长小于此时有=三．可积函数类：1．闭区间上的连续函数必可积：Th5（证）2．闭区间上有界且仅有有限个间断点的函数可积.Th6（证）推论1闭区间上按段连续函数必可积.推论2设函数在区间上有界且其间断点仅有有限个聚点,则函数在区间上可积.例2判断题:闭区间上仅有一个间断点的函数必可积.()88闭
17、区间上有无穷多个间断点的函数必不可积.()3.闭区间上的单调函数必可积：Th7（证）例3证明在上可积.Ex[1]P288—2893—7.§3定积分的性质（3时）一.定积分的性质:1.线性性质:Th1为常数且.（证）Th2,且.（证）综上,定积分是线性运算.2.乘积可积性:Th3.证和有界.设,且可设.(否则或恒为零).插项估计,有.但一般.3.关于区间可加性:Th4有界函数在区间和上可积,并有.(证明并解释几何意义)88规定:,.推论设函数在区间上可积.则对,有.（证）4.积分关于函数的单调性:Th5设函数,且,.（证）(反之确否?)积分的基本估计:.其中和分别为
18、函数在区间
