数学分析(华东师大)第九章定积分

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1、第九章定积分§1定积分概念-问题提出不定积分和定积分是积分学中的两大基本问题.求不定积分是求导数的逆运算，定积分则是某种特殊和式的极限，它们之间既有区别又有联系.现在先从两个例子来看定积分概念是怎样提出来的.1.曲边梯形的面积设/为闭区间“力/上的连续函数，且/W彡0.由曲线尸/W,直线动以及x轴所围成的平面图形（图9-1）,称为曲边梯形.下面讨论曲边梯形的面积（这是求任何曲线边界图形面积的基础）.y-fW图9-1图9-2在初等数学里，圆面积是用一系列边数无限增多的内接（或外切）正多边形面积的极限来定义的.现在我们仍用类似的办法来定

2、义曲边梯形的面积.在区间内任取n.-l个分点，它们依次为a-Xo

3、A=Xi-Xi-).fl)/=I注意到⑴式右边的和式既依赖于对区间“力/的分割，又与所有中间点L的取法有关.可以想象，当分点无限增多，且对M力7无限细分时，如果此和式与某一常数无限接近，而且与分点X/和中间点L的选取无关.，则就把此常数定义作为曲边梯形的面积S.2.变力所作的功设质点受力F的作用沿I_^F(x)x轴由点g移动到点么并设F处处平行于；c1•一—<——-0Ctbx轴(图9-3).如果F为常力，则它对质x点所作的功为打/?-⑴.现在的问题是，图9-3F为变力，它连续依赖于质点所在位置的坐标X，即F=F(x)，xe［a，b

4、j为一连续函数，此时F对质点所作的功W又该如何计算？由假设F㈨为一连续函数,故在很小的一段位移区间上fYx)可以近似地看作一常量.类似于求曲边梯形面积那样，把M,/?/细分为H个小区间［Xi］，Xi］，么Xi=Xi-Xi-1,/=1,2,,Z2,•并在每个小区间上任取一点就有F(x)《F(乙)，xE/x.i,Xi］fi-1,2,,n.于是,质点从位移到x,•时，力F所作的功就近似等于从而n(2)i=I同样地，对作无限细分时，若(2)式右边的和式与某一常数无限接近，则就把此常数定义作为变力所作的功W.上面两个例子，一个是计算曲边梯形面

5、积的几何问题,另一个是求变力作功的力学问题，它们最终都归结为一个特定形式的和式逼近.在科学技术中还有许多同样类型的数学问题，解决这类问题的思想方法概括说来就是“分割，近似求和,取极限”.这就是产生定积分概念的背景.二定积分的定义定义1设闭区间/仏/?/内有个点，依次为a-XO

6、x/AxJ，Ian称为分割r的模.注由于Ax

7、可用来反映M力/被分割的细密程度.另外，分割r一旦给出，IlrII就随之而确定，•但是,具有同一细度IIrII的分割r却有无限多个.定义2设/是定义在上的一个函数.对于W的一个分割/Al9A2,，任取点i二1，2,，仏并作和式nEf(1=1称此和式为函数/在上的一个积分和，也称黎曼和.显然，积分和既与分割r有关,又与所选取的点集/有关.定义3设f是定义在fa,bj上的一个函数，J是一个确定的实数.若对任给的正数e，总存在某一正数3,使得对/〃，以的

8、任何分割7以及在其上任意选取的点集^人,只要IIrll

9、4)II门1，()/=1Ja然而,积分和的极限与函数的极限之间其实有着很大的区别：在函数极限limf(x)中，对每一个极限变量x来说，/(X)的值是唯一确定的，•而对于积分和x一a的极限而言,每一个IIm并不唯一对应积分和的一个值.这