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《数学分析教案 (华东师大版)第九章 定积分.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。
1、第九章定积分教学要求：1知道定积分的客观背景——曲边梯形的面积和变力所作的功等，以及解决这些实际问题的数学思想方法；深刻理解并掌握定积分的思想：分割、近似求和、取极限，进而会利用定义解决问题；2.深刻理解微积分基本定理的意义，能够熟练地应用牛顿-莱布尼兹公式计算定积分；3.理解可积的必要条件以及上和、下和的性质，掌握可积的充要条件及可积函数类，能独立地证明可积性的问题；4.理解并熟练地应用定积分的性质；5.熟练地掌握换元积分法和分部积分法，并能解决计算问题.教学重点：1.深刻理解并掌握定积分的思想，能够熟练地应用牛顿-莱布尼兹公式计算定积分；2.掌握
2、可积的充要条件及可积函数类，能独立地证明可积性的问题；3.理解并熟练地应用定积分的性质；4.熟练地掌握换元积分法和分部积分法，并能解决计算问题.教学时数：14学时§1定积分概念（2学时）教学要求：知道定积分的客观背景——曲边梯形的面积和变力所作的功等，以及解决这些实际问题的数学思想方法；深刻理解并掌握定积分的思想：分割、近似求和、取极限，进而会利用定义解决问题；教学重点：深刻理解并掌握定积分的思想.一、问题背景：1.曲边梯形的面积:2.变力所作的功:二、不积分的定义:三、举例:例1 已知函数在区间上可积.用定义求积分.解取等分区间作为分法,.取.=.
3、由函数在区间上可积,每个特殊积分和之极限均为该积分值.例2 已知函数在区间上可积,用定义求积分.解分法与介点集选法如例1,有.上式最后的极限求不出来,但却表明该极限值就是积分.例3 讨论Dirichlet函数在区间上的可积性.四、小结：指出本讲要点§2Newton—Leibniz公式（2学时）教学要求：深刻理解微积分基本定理的意义，能够熟练地应用牛顿-莱布尼兹公式计算定积分.教学重点：能够熟练地应用牛顿-莱布尼兹公式计算定积分.Th9.1（N—L公式）(证)例1求ⅰ>;ⅱ>;例2求.§3可积条件（4学时）教学要求：理解可积的必要条件以及上和、下和的性
4、质，掌握可积的充要条件及可积函数类，能独立地证明可积性的问题.教学重点：掌握可积的充要条件及可积函数类，能独立地证明可积性的问题；一、必要条件:Th9.2，在区间上有界.二、充要条件:1.思路与方案:思路:鉴于积分和与分法和介点有关,先简化积分和.用相应于分法的“最大”和“最小”的两个“积分和”去双逼一般的积分和,即用极限的双逼原理考查积分和有极限,且与分法及介点无关的条件.方案:定义上和和下和.研究它们的性质和当时有相同极限的充要条件.2.Darboux和:以下总设函数在区间上有界.并设,其中和分别是函数在区间上的下确界和上确界.定义Darboux
5、和,指出Darboux和未必是积分和.但Darboux和由分法唯一确定.分别用、和记相应于分法的上（大）和、下（小）和与积分和.积分和是数集(多值).但总有,因此有.和的几何意义.3.Darboux和的性质:本段研究Darboux和的性质,目的是建立Darboux定理.先用分点集定义分法和精细分法:表示是的加细.性质1若,则,.即:分法加细,大和不增,小和不减.(证)性质2对任何,有,.即:大和有下界,小和有上界.(证)性质3对任何和,总有.即:小和不会超过大和.证.性质4设是添加个新分点的加细.则有+,.证设是只在中第个区间内加上一个新分点所成的分
6、法,分别设,,.显然有和.于是.添加个新分点可视为依次添加一个分点进行次.即证得第二式. 可类证第一式.系设分法有个分点，则对任何分法，有，.证..4.上积分和下积分:设函数在区间上有界.由以上性质2，有上界，有下界.因此它们分别有上确界和下确界.定义记,.分别称和为函数在区间上的上积分和下积分.对区间上的有界函数,和存在且有限,.并且对任何分法,有.上、下积分的几何意义.例1求和.其中是Dirichlet函数.5.Darboux定理:Th1设函数在区间上有界,是区间的分法.则有=,=.证(只证第一式.要证:对使当时有.是显然的.因此只证.),对,使
7、<设有个分点,对任何分法,由性质4的系,有,由*式,得<即<亦即<.于是取,(可设,否则为常值函数,=对任何分法成立.)对任何分法,只要,就有.此即=.6.可积的充要条件:Th2（充要条件1）设函数在区间上有界.=.证设=,则有=.即对使当时有
8、
9、<对成立.在每个上取,使,于是,
10、
11、=<.因此,时有
12、
13、
14、
15、+
16、
17、<+=.此即=.由Darboux定理,=.同理可证=.=.对任何分法,有,而 ===. 令和的共值为,由双逼原理=. Th9.3有界.对.证()=0.即对时,.,由,–,=. 定义称为函数在区间上的振幅或幅度.易见有0.可证=Th9.3’(充
18、要条件2)有界.对.Th3’的几何意义及应用Th3’的一般方法:为应用Th3’,通常用下法构造分法: 当函数
