数学分析(华东师大)第九章定积分.doc

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1、第九章定积分§1定积分概念一问题提出不定积分和定积分是积分学中的两大基本问题.求不定积分是求导数的逆运算,定积分则是某种特殊和式的极限,它们之间既有区别又有联系.现在先从两个例子来看定积分概念是怎样提出来的.1.曲边梯形的面积设f为闭区间[a,b]上的连续函数,且f(x)≥0.由曲线y=f(x),直线x=a,x=b以及x轴所围成的平面图形(图9-1),称为曲边梯形.下面讨论曲边梯形的面积(这是求任何曲线边界图形面积的基础).图9-1图9-2在初等数学里,圆面积是用一系列边数无限增多的内接(或外切)正多边形面积的极限来定义的.现在我们仍用类似的办法来定

2、义曲边梯形的面积.在区间[a,b]内任取n-1个分点,它们依次为a=x0

3、可作为该曲边梯形面积S的近似值,即nS≈∑f(ξi)Δxi(Δxi=xi-xi-1).(1)i=1注意到(1)式右边的和式既依赖于对区间[a,b]的分割,又与所有中间点ξi(i=1,2,,n)的取法有关.可以想象,当分点无限增多,且对[a,b]无限细分时,如果此和式与某一常数无限接近,而且与分点xi和中间点ξi的选取无关,则就把此常数定义作为曲边梯形的面积S.2.变力所作的功设质点受力F的作用沿x轴由点a移动到点b,并设F处处平行于x轴(图9-3).如果F为常力,则它对质点所作的功为W=F(b-a).现在的问题是,图9-3F为变力,它连续依赖于质点所

4、在位置的坐标x,即F=F(x),x∈[a,b]为一连续函数,此时F对质点所作的功W又该如何计算?由假设F(x)为一连续函数,故在很小的一段位移区间上F(x)可以近似地看作一常量.类似于求曲边梯形面积那样,把[a,b]细分为n个小区间[xi-1,xi],Δxi=xi-xi-1,i=1,2,,n;并在每个小区间上任取一点ξi,就有F(x)≈F(ξi),x∈[xi-1,xi],i=1,2,,n.于是,质点从xi-1位移到xi时,力F所作的功就近似等于F(ξi)Δxi,从而nW≈∑F(ξi)Δxi.(2)i=1同样地,对[a,b]作无限细分时,若(2)式右边

5、的和式与某一常数无限接近,则就把此常数定义作为变力所作的功W.上面两个例子,一个是计算曲边梯形面积的几何问题,另一个是求变力作功的力学问题,它们最终都归结为一个特定形式的和式逼近.在科学技术中还有许多同样类型的数学问题,解决这类问题的思想方法概括说来就是“分割,近似求和,取极限”.这就是产生定积分概念的背景.二定积分的定义定义1设闭区间[a,b]内有n-1个点,依次为a=x0

6、1,,xn}或{Δ1,Δ2,,Δn}.小区间Δi的长度为Δxi=xi-xi-1,并记202第九章定积分‖T‖=max{Δxi},1≤i≤n称为分割T的模.注由于Δxi≤‖T‖,i=1,2,,n,因此‖T‖可用来反映[a,b]被分割的细密程度.另外,分割T一旦给出,‖T‖就随之而确定;但是,具有同一细度‖T‖的分割T却有无限多个.定义2设f是定义在[a,b]上的一个函数.对于[a,b]的一个分割T={Δ1,Δ2,,Δn},任取点ξi∈Δi,i=1,2,,n,并作和式n∑f(ξi)Δxi.i=1称此和式为函数f在[a,b]上的一个积分和,也称黎曼和.显然

7、,积分和既与分割T有关,又与所选取的点集{ξi}有关.定义3设f是定义在[a,b]上的一个函数,J是一个确定的实数.若对任给的正数ε,总存在某一正数δ,使得对[a,b]的任何分割T,以及在其上任意选取的点集{ξi},只要‖T‖<δ,就有n∑f(ξi)Δxi-J<ε,i=1则称函数f在区间[a,b]上可积或黎曼可积;数J称为f在[a,b]上的定积分或黎曼积分,记作bJ=∫f(x)dx.(3)a其中,f称为被积函数,x称为积分变量,[a,b]称为积分区间,a、b分别称为这个定积分的下限和上限.以上定义1至定义3是定积分抽象概念的完整叙述.下面是与定积分概

8、念有关的几点补充注释.注1把定积分定义的ε-δ说法和函数极限的ε-δ说法相对照,便会发现两者有相似的陈述方式