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1、《数值分析》课程设计说明书高斯—勒让德积分公式摘要：高斯—勒让德积分公式可以用较少节点数得到高精度的计算结果,是现在现实生活中经常运用到的数值积分法。然而，当积分区间较大时，积分精度并不理想。TheadvantageofGauss-Legendreintegralformulaistendtogethigh-precisioncalculationalresultbyusingfewerGauss-points,reallifeisnowoftenappliednumericalintegrationmethod.Butth
2、eprecisionisnotgoodwhenthelengthofintegralintervalislonger.关键字：积分计算，积分公式，高斯—勒让德积分公式，MATLABKeyword:IntegralCalculation,Integralformula,Gauss-Legendreintegralformula,Matlab引言：众所周知，微积分的两大部分是微分与积分。微分实际上是求一函数的导数，而积分是已知一函数的导数，求这一函数。所以，微分与积分互为逆运算。实际上，积分还可以分为两部分。第一种，是单纯的积分
3、，也就是已知导数求原函数，称为不定积分。相对而言，另一种就是定积分了，之所以称其为定积分，是因为它积分后得出的值是确定的，是一个数，而不是一个函数。计算定积分的方法很多，而高斯—勒让德公式就是其中之一。高斯积分法是精度最高的插值型数值积分，具有2n+1阶精度，并且高斯积分总是稳定。而高斯求积系数，可以由Lagrange多项式插值系数进行积分得到。高斯—勒让德求积公式是构造高精度差值积分的最好方法之一。他是通过让节点和积分系数待定让函数f(x)以此取i=0,1,2....n次多项式使其尽可能多的能够精确成立来求出积分节点和积分
4、系数。高斯积分的代数精度是2n-1，而且是最高的。通常运用的是（-1，1）的积分节点和积分系数，其他积分域是通过变换14《数值分析》课程设计说明书x=(b-a)t/2 +(a+b)/2变换到-1到1之间积分。1.现有的方法和理论1.1高斯勒让德求积公式在高斯求积公式(4.5.1)中，若取权函数，区间为，则得公式我们知道勒让德多项式是区间上的正交多项式，因此，勒让德多项式的零点就是求积公式(上式)的高斯点．形如(上式)的高斯公式特别地称为高斯－勒让德求积公式．若取的零点做节点构造求积公式令它对准确成立，即可定出．这样构造出的
5、一点高斯－勒让德求积公式是中矩形公式．再取的两个零点构造求积公式令它对都准确成立，有．由此解出，从而得到两点高斯－勒让德求积公式14《数值分析》课程设计说明书．三点高斯－勒让德求积公式的形式是．如表列出高斯－勒让德求积公式的节点和系数．00.00000002.000000010.57735031.000000020.77459670.00000000.55555560.888888930.86113630.33998100.34785480.652145240.90617980.53846930.00000000.23692
6、690.47862870.5688889公式(4.5.9)的余项由(4.5.8)得，这里是最高项系数为１的勒让德多项式，由(3.2.6)及(3.2.7)得． 14《数值分析》课程设计说明书当时，有．它比辛普森公式余项还小，且比辛普森公式少算一个函数值．当积分区间不是[－１，１]，而是一般的区间时，只要做变换可将化为［－１，１］，这时． 对等式右端的积分即可使用高斯－勒让德求积公式．1.2复化Gauss-Legendre求积公式将被积区间m等分,记,作变换在每个小区间上应用Gauss-Legendre公式,累加即得复化Ga
7、uss-Legendre求积公式不妨设14《数值分析》课程设计说明书则有:Gauss点个数时,Gauss点个数时,总结复化Gauss-Legendre求积过程如下:1.分割区间,记录区间端点值；2.通过查表或求解非线性方程组,在所有小区间上,将Gauss系数和Gauss点的值代入变量替换后的公式；3.将所有区间的结果累加,即得到整个区间上的积分近似值.针对Gauss点个数和的复化Gauss-Legendre求积公式编写的一个简单的MATLAB函数compgauss()如下:function[]=compgauss(a,b,n
8、)%CompositeGaussIntegration%EquationType:n=2,n=3%CodedbyNan.Xiao2010-05-25%Step.1DivideInterval%Step.2Calculate%Step.3SumResultsformatlongf=@(x)e
