多重复化高斯——勒让德积分公式及其应用

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1、维普资讯http://www.cqvip.com第36卷第5期兰州太学学报(自．林科学l匮)VoI．36No．52000年1O月Jour~t。fLaⅡ昌h。uUn~versLty(NaturalSciences)Oct．2000文章编号：0455—2059(2000)05—0030-05多重复化高斯一勒让德积分公式及其应用。张冠茂(兰州大学信息科学与工程学院电子与信息科学系．甘肃兰州730000)摘蔓：根据物理学研究的实际需要提出了多重复化高斯一勒让德(Gauss·Iegendre)积分方法，井给出了与之相关的一组积分计算公式．经检验．其实际使用社果是

2、令人满意的，完全可以达到工程计算所要求的髓毛一’关麓调：数值计算；多重复化恼斯一勒让德积分方法{多童复化高斯一勒让德积分公式中田分类号：0241．4献标识码：A'-_'—。-—_O引言通常绝大多数物理问题中所涉及的实际积分是难以直接给出显式解析解的，这样的情形在工程电磁场的求解问题中是大量存在的．此处假设已比较幸运地找到了这样一个初级解，但是一个繁杂的积分通式．显然，要想做进一步的解析分析已无可能，所以必须采用有关的数值积分算法．不失一般性，首先探讨二重、三重复杂积分的数值求解方法，推导出与之相对应的多重复化高斯一勒让德积分公式，然后向高维情形加以推广

3、．1多重复化高斯一勒让德积分数值计算公式的理论推导一般地，二重积分的被积函数形式可设为f(p)，∈D．(r)f‘l⋯，I二囫SfS二酬ⅡbjD“b：D口b(b)(c)图I二重积分域的3种可能取法FLg．1Threeprobablesituationofthetwodimensionintegraldomain这里P一，)，D是积分域，，(p)在D上可以是分段光滑的函数．由于积分本身可划分为内层积分和外层积分，其中外层积分的上下限必定是数值化的，而内层积分的上下限既可能是敬收稿日期：1999．12-14．作者简介；张冠茂(1973一)．男，助教．硕士维普

4、资讯http://www.cqvip.com第5期张冠蔑：多重复化高斯一勒让堪积分公式及其应用31值化的，也可能是代数化的，但不外乎图1所示的3种情形．在此将讨论最一般的情形，即内层积分限是代数化的情形，如图1C所示．至于其它两种情形，只不过是这一种情形的蜕化形式罢了，相对而言是比较简单的．二重积分通式可表为G—llf(p)da．(2)在直角坐标系下，令该积分的外层积分上下限分别为6，a，内层积分上下限分别为妒)，)，则式(2)可改写为下列分层形式G—l[1f(x，y)dy]dx．(3)若令G—lg(x)dx，(4)这里g)=lf(x，y)dy．(5)

5、可见式(4)是一般的单重积分．数值积分精度的高低主要取决于积分方法与被积函数在积分域上的变化情况G—L(即高斯一勒让德积分的简称)积分公式对[一1，1]上的积分是有相当准确度的，比如8点关系，可达15阶的代数精度．对于大跨度情形如，，有各种可化为域[一1，1]的办法．为了在一般情况下，能够求得高精度的积分值以及达到较高的代数精度，在G—L数值积分中必须引入复化处理技术．针对二重积分，采取由外而里的逐层分析办法，以得到求其数值积分解的通用模式．对于式(4)，运用复化技术，将区间进行等分，以使其每个子区间均不超过跨度2．不妨令：+o，(6)．其中：mr=一

6、n]t此处符号表示取整运算}这里m。=O，1，2，3，⋯，以此将，胡区间进行m等分，故单位区间长度为(6一a)／m，但为了避免m=0的情形，不妨给等分数加1，以使其最小为1，于是有Ax一(6一a)／(m+1)．(7)则积分域各分点关系可统一表为下述形式，=a+△，J=o，1，2，3，⋯，m+1，(8)易知=a+(m+1)Ax．现在共有+1个单元区间，m+2个分点，于是式(4)的积分可表为G：妻[』=：(x)dx]．㈣上式共有m+1个子积分．由于+jAx，n+(+1)△]的区间跨度为A=(6一口)／(+1)≤1，故完全可以采用上下限变换的方法使之映射到域

7、[一1，1]中，以采用G—L积分公式进行计算．现取以上+1个子积分中的任一个区间，即啪一Ex，1]，(10】令GJ—I。g()d，(11)维普资讯http://www.cqvip.com兰州太拳学报(自燕科学版)第36卷再做积分变换z=[(+⋯)+(z⋯一x~)t]／2，(12)则有b'Gi：牮fgF+垒±]df．(13)采用具有2q一1阶代数精度的Gauss—Legendre积分公式“，则有q个积分节点，取为，i：1，2，3，⋯，g，并用表示对应的G—L积分系数，这里及的取值可参相关文献．于是上述单元积分的数值积分解为崛=竽奎n[+竽(1+)]．(1

8、4)现将整个区间的+1个子区间全部进行以上处理，则整个积分的结果为G；∑b'G=等∑∑g()，