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1、数值分析高斯—勒让德积分公式导读：就爱阅读网友为您分享以下“数值分析高斯—勒让德积分公式”的资讯，希望对您有所帮助，感谢您对92to.com的支持!《数值分析》课程设计说明书高斯—勒让德积分公式摘要：高斯—勒让德积分公式可以用较少节点数得到高精度的计算结果,是现在现实生活中经常运用到的数值积分法。然而，当积分区间较大时，积分精度并不理想。TheadvantageofGauss-Legendreintegralformulaistendtogethigh-precisioncalculationalresultbyusingfewerGauss-point
2、s,reallifeisnowoftenappliednumericalintegrationmethod.Buttheprecisionisnotgoodwhenthelengthofintegralintervalislonger.16关键字：积分计算，积分公式，高斯—勒让德积分公式，MATLABKeyword:IntegralCalculation,Integralformula,Gauss-Legendreintegralformula,Matlab引言：众所周知，微积分的两大部分是微分与积分。微分实际上是求一函数的导数，而积分是已知一函数的导数
3、，求这一函数。所以，微分与积分互为逆运算。实际上，积分还可以分为两部分。第一种，是单纯的积分，也就是已知导数求原函数，称为不定积分。相对而言，另一种就是定积分了，之所以称其为定积分，是因为它积分后得出的值是确定的，是一个数，而不是一个函数。计算定积分的方法很多，而高斯—勒让德公式就是其中之一。高斯积分法是精度最高的插值型数值积分，具有2n+1阶精度，并且高斯积分总是稳定。而高斯求积系数，可以由Lagrange多项式插值系数进行积分得到。16高斯—勒让德求积公式是构造高精度差值积分的最好方法之一。他是通过让节点和积分系数待定让函数f(x)以此取i=0,1,
4、2....n次多项式使其尽可能多的能够精确成立来求出积分节点和积分系数。高斯积分的代数精度是2n-1，而且是最高的。通常运用的是（-1，1）的积分节点和积分系数，其他积分域是通过变换1《数值分析》课程设计说明书x=(b-a)t/2+(a+b)/2变换到-1到1之间积分。1.现有的方法和理论1.1高斯勒让德求积公式在高斯求积公式(4.5.1)中，若取权函数我们知道勒让多项式，因此，勒让德多项式德多项式是区间上的正交，区间为，则得公式的零点就是求积公式(上式)的高斯点．形如(上式)的高斯公式特别地称为高斯－勒让德求积公式．16若取令它对准确成立，即可定出．这
5、样构造出的一点高斯－勒让的零点做节点构造求积公式德求积公式是中矩形公式．再取式令它对都准确成立，有的两个零点构造求积公．由此解出，从而得到两点高斯－勒让德求积公式2《数值分析》课程设计说明书．三点高斯－勒让德求积公式的形式是．如表列出高斯－勒让德求积公式的节点和系数．010.00000000.57735030.77459672.00000001.00000000.55555560.88888890.34785480.65214520.23692690.47862870.568888920.00000000.861136330.33998100.90617
6、9840.53846930.000000016公式(4.5.9)的余项由(4.5.8)得，这里是最高项系数为１的勒让德多项式，由(3.2.6)及(3.2.7)得．3《数值分析》课程设计说明书当时，有．它比辛普森公式余项还小，且比辛普森公式少算一个函数值．当积分区间不是[－１，１]，而是一般的区间时，只要做变换可将化为［－１，１］，这时．对等式右端的积分即可使用高斯－勒让德求积公式．1.2复化Gauss-Legendre求积公式将被积区间m等分,记,作变换16在每个小区间上应用Gauss-Legendre公式,累加即得复化Gauss-Legendre求积公
7、式不妨设4《数值分析》课程设计说明书则有:Gauss点个数时,Gauss点个数时,总结复化Gauss-Legendre求积过程如下:1.分割区间,记录区间端点值；2.通过查表或求解非线性方程组,在所有小区间上,将Gauss系数和Gauss点的值代入变量替换后的公式；3.将所有区间的结果累加,即得到整个区间上的积分近似值.16针对Gauss点个数和的复化Gauss-Legendre求积公式编写的一个简单的MATLAB函数compgauss()如下:function[]=compgauss(a,b,n)%CompositeGaussIntegration%E
8、quationType:n=2,n=3%CodedbyNan.Xiao2010-
