谈谈高斯-勒让德公式推导过程.doc

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1、4章数值积分与数值微分4.1引言4.1.1数值求积的基本思想实际问题当中常常需要计算积分．有些数值方法，如微分方程和积分方程的求解，也都和积分计算相联系．依据人们所熟知的微积分基本定理，对于积分．只要找到被积函数的原函数，便有下列牛顿－莱布尼兹(Newton-Leibniz)公式：但实际使用这种积分方法往往有困难，因为大量的被积函数，诸如等等，我们找不到用初等函数表示的原函数；另外，当是由测量或数值计算给出的一张数据表时，牛顿－莱布尼兹公式也不能直接使用．因此有必要研究积分的数值计算问题．积分中值定理告

2、诉我们，在积分区间内存在一点，成立就是说，底为而高为的矩形面积恰等于所求曲边梯形的面积（图４－１）．问题在于点的具体位置一般是不知道的，因而难准确算出的值．我们将称为区间上的平均高度．这样，只要对平均高度提供一种算法，相应地便获得一种数值求积方法．如果我们用两端点“高度”和的算术平均平均作为平均高度的近似值，这样导出的求积公式　　　　　　　　　　　（4.1.1）便是我们所熟悉的梯形公式（几何意义参看图４－２）．而如果改用区间中点的“高度”近似地取代平均高度，则又可导出所谓中矩形公式（今后简称矩形公式）　

3、　　　　　　　　　　　　（4.1.2）更一般地，我们可以在区间上适当选取某些节点，然后用加权平均得到平均高度的近似值，这样构造出的求积公式具有下列形式：　　　　　　　　　　　　　　（4.1.3）式中称为求积节点；称为求积系数，亦称伴随节点的权．权仅仅与节点的选取有关，而不依赖于被积函数的具体形式．这类数值积分方法通常称为机械求积，其特点是将积分求值问题归结为函数值的计算，这就避开了牛顿－莱布尼兹公式需要求原函数的困难．4.1.2代数精度的概念数值求积方法是近似方法，为要保证精度，我们自然希望求积公式能对

4、“尽可能多”的函数准确地成立，这就提出了所谓代数精度的概念．定义１　如果某个求积公式对于次数不超过的多项式均能准确地成立，但对于次多项式就不准确成立，则称该求积公式具有次代数精度．不难验证，梯形公式（4.1.1）的矩形公式（4.1.2）均具有一次代数精度．一般地，欲使求积公式（4.１.３）具有次代数精度，只要令它对于都能精确成立，这就要求　　　　　　　　　(4.1.4)为简洁起见，这里省略了符号中的上下标．如果我们事先选定求积节点，臂如，以区间的等距分点作为节点，这时取求解方程组(4.1.4)即可确定求

5、积系数，而使求积公式(4.1.3)至少具有次代数精度．本章第２节介绍这样一类求积公式，梯形公式是其中的一个特例．为了构造出形如(4.1.3)的求积公式，原则上是一个确定参数和的代数问题．4.1.3插值型的求积公式设给定一组节点且已知函数在节点上的值，作插值函数（参见第２章(2.9)式）．由于代数多项式的原函数是容易求出的，我们取作为积分的近似值，这样构造出的求积公式　　　　　　　　　　　　　(4.1.5)称为是插值型的，式中求积系数通过插值基函数的积分得出(4.1.6)由插值余项定理（第２章的定理２）即

6、知，对于插值型的求积公式(4.1.5)，其余项　　　　　　　　　(4.1.7)式中与变量有关，．如果求积公式(4.1.5)是插值型的，按式(4.1.7)，对于次数不超过的多项式，其余项等于零，因而这时求积公式至少具有次代数精度．反之，如果求积公式(4.1.5)至少具有次代数精度，则它必定是插值型的．事实上，这时公式(4.1.5)对于插值基函数应准确成立，即有注意到，上式右端实际上即等于，因而式(4.1.6)成立．综上所述，我们的结论是：定理１　形如(4.1.5)的求积公式至少具有次代数精度的充分必要条件

7、是，它是插值型的．4.1.4求积公式的收敛性与稳定性定义２　在求积公式(4.1.3)中，若．其中，则称求积公式(4.1.3)是收敛的．在求积公式(4.1.3)中，由于计算可能产生误差，实际得到，即．记．如果对任给小正数，只要误差充分小就有，　　　　　　(4.1.8)它表明求积公式(4.1.3)计算是稳定的，由此给出：定义３　在任给，若，只要就有(4.1.8)成立，则称求积公式(4.1.3)是稳定的．定理２　若求积公式(4.1.3)中系数，则此求积公式是稳定的．证明　对任给，若取，对都有，则有由定义３可知

8、求积公式(4.1.3)是稳定的．证毕．定理２表明只要求积系数，就能保证计算的稳定性．4.2牛顿－4.3柯特斯公式4.2.1柯特斯系数设将积分区间划分为等分，步长，选取等距节点构造出的插值型求积公式　　　　　　　　(4.2.1)称为牛顿－柯特斯(Newton-Cotes)公式，式中称为柯特斯系数．按(4.1.6)式，引进变换，则有　　　　　(4.2.2)由于是多项式的积分，柯特斯系数的计算不会遇到实质性的困难．当时，这时的求积公式就是我们所熟