第八章 相关与回归分析

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1、第八章相关与回归分析统计方法的一个重要目的是探讨事物的数量规律，那么，统计方法怎样探讨规律？对这个过程或机制的一个简单解释是：通过对性质不同的事物的大量观察，发现某些表面关系不大的事物之间存在着一定的依存关系，事物之间不是“独立”的，这使人们发现了一些“模式”，比如，人们发现，菜肴如果比较“咸”，就不容易变质，这个模式甚至成为许多人长期保持食物的方法。本章将介绍初步的探索统计规律的方法。要求：1.掌握相关系数的含义、计算方法和应用2.掌握一元线性回归的基本原理和参数的最小二乘估计方法3.掌握回归方程的显著性检验4.利用回归方程进行预测4.掌握多元线性回归分析的基

2、本方法5.了解可化为线性回归的曲线回归6.用Excel进行回归分析第一节变量间的相关及其度量一、相关关系的概念“事物是普遍联系的”，这种联系在我们看起来或明或暗，或显或隐，运用统计方法的一个意图就是试图从数量上测度事物之间的“联系及其程度”用统计学的眼光看，事物无非变量，因此，我们可以把事物间的关系视为变量间的关系。为了讨论的简明，我们暂时设定数量联系发生在两个事物或两个变量之间，此关系的紧密程度就是统计学要发现和度量的对象。这种关系有一个极端的情况是一个变量的变化完全能够决定另一个变量的变化。例如，一瓶矿泉水2元钱，我们每多买一瓶，就要多花2元钱，把购买量（瓶

3、）记为x，花费金额记为y，则y=2x。其他的类似情况很多，其基本特点是：知道了一个变量的变化程度，就能够确定另一个变量的变化程度，这就是函数关系。然而，现实世界中还有许多情况是两事物之间存在着联系，但其方式不是“决定”，比如，一般地看，一个人的身高越高，他的体重也“应该”越大，但我们会发现很多1.69米高的人比1.70米高的人重；又如，居民收入越高，储蓄额也会越大，但我们确实见过收入下降但储蓄额却上升的情况。类似的情况很多：我们认识到存在着一定的规律，但这种规律是有弹性的，至少是会出现“意外”的，所以，这是一种非确定性关系。由于众多现象所形成的复杂性和我们认识的

4、局限性，或者由于试验误差、测量误差等偶然因素，使得一个变量的变化，另一个变量可以取若干个随机的数值。统计学中把这种现象之间在数量上非确定性的对应关系叫做“相关关系”或“统计关系”。因此，我们把相关看作是现象或变量之间的数量关联。1、完全确定的关联——函数关系统计关系2、部分确定的关联3、完全不确定的关联从以上的分析看，探讨现象之间的相关关系，可能是探讨事物内在确定性的一种捷径，至少也是能够指出探索方向的重要信息，而且许多现象也证实了这种机制。比如，天花是一种毁坏性很强的传染病，但有人发现，牧场里挤牛奶的姑娘几乎从来不染天花，经过多次的“试-错”活动，牛痘诞生了，

5、天花不再肆虐，以至于现在，天花病毒在某些范围内成为濒临灭绝的需要保护的生物物种；再如风湿性关节炎，是一种顽疾，但人们发现养蜂人几乎不患关节炎，与产生牛痘的艰难过程相似，治疗关节炎的“蜂毒”出现了。加拿大的一个科学家(Dr.PeterYu)猜测：严重暴力犯是否在生理结构上就与正常人有区别？他研究了监狱内几十名严重暴力罪犯的血样，发现其中一种叫做MAO的物质只相当于正常人的1/3，而且暴力犯罪越严重，MAO含量越低。西班牙的一位科学家对斗牛士进行了相似的试验，也得到相似的结果。加拿大的这位科学家同样也对一些胆子很小、“不惜一切避免任何风险”的人进行了相似的试验，发现

6、MAO含量偏高，他就着手研制一种药，能够降低某些胆小的人血液中的MAO含量，以使他们能与普通人同样低生活。这是一种现象：暴力倾向强的人，同时血液中MAO的含量也低，相反，胆子小的人，MAO含量高。人们会很自然地猜测——MAO是否决定了一个人的暴力倾向？诸如此类的情况，都存在这样的过程：人们发现了某种现象的变化经常都会引起另一现象的变化，这可以被视为不太明确的规律，人们为了验证、利用这些规律，会进一步试验，筛选出最主要的变量，再进行理论论证，直至形成一种比较稳定的、可控的操作模式。这个过程用统计术语来表述，就是：通过大量观察，发现了某两个变量之间的相关关系，再对这

7、两个变量的一系列观测值进行有效的统计技术处理（下面将要介绍的回归分析方法是主要的手段），形成具有一定概率的统计规律。如何验证或解释统计规律则是统计方法以外的事业，前述三个事例都属于生物学、生理学领域。经济现象中的“恩格尔定律”也有类似的情形。二、相关关系的种类感知某种事物的存在，人们很自然地就要去理解、解释这种事物。现象间存在着相关关系，这些“关系”成为认识的对象，我们不禁要问：这些关系是怎样的？从科学方法的角度看，对我们的研究对象进行适当的分类是必要的。现象间的相关关系可以有多种分类。1、按相关的方向不同可以分为正相关和负相关2、按相关的形式不同可以分为线性相

8、关和非线性相关当一个变量