第八章直线相关与回归分析

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1、第十章一元回归与相关分析概述：许多问题需要研究多个变量Z间的关系，例如生物的生长发育速度就与温度，营养，湿度等许多因素有关。相关关系：两变量X,Y均为随机变量，任一变量的每一可能值都有另一变量的一个确定分布与之对应。回归关系：X是非随机变量（如施肥）或随机变量（如穗长），Y是随机变量，对X的每一确定值冷都有Y的一个确定分布与之对应。区别：1•相关小的两个变量地位对称，互为因果；冋归小X是白变量，Y是因变量。两种意义不同，分析的数学概念•推导过程不同，但如果使用共同标准即使y的残差平方和最小（最小二乘法），可得到相同的参数佔计式。因此主要讨论X为非随机变量（不包含有随机谋差）的情况，所得到的参

2、数估计式也可用于X为随机变量的情况。2.分析目的不同。回归分析是建立X与Y之间的数学关系式，用于预测；而相关分析研究X与Y两个随机变虽Z间的共同变化规律，例如当X增大时Y如何变化，以及这种共变关系的强弱。分类：从两个变量间相关（或回归）的程度分三种：（1）完全相关。一个变量的值确定示，另一个变量的值可通过公式求岀（函数关系）；生物学研究中不太多见。（2）不相关。变最之间完全没有任何关系。一个变最的值不能提供另一个变量的任何信息。（3）统计相关（不完全相关）。介于上述两情况之间。知道一个变量的值通过某种公式就可以提供另一个变量的均值的信息。一个变量的取值不完全决定另一个变量的取值，但可或多或少

3、地决定它的分布。科研屮最常遇到。研究“一因一果”，即一个自变量与一个依变量的回归分析称为一元回归分析；研究“多因一果"，即多个口变量与一个依变量的回归分析称为多元回归分析。一元回归分析乂分为直线回归分析与曲线回归分析两种；多元回归分析乂分为多元线性回归分析与多元非线性回归分析两种。对两个变量间的肓线关系进行相关分析称为直线相关分析；研究一个变量与多个变虽间的线性相关称为复相关分析;研究其余变量保持不变的情况下两个变量间的线性相关称为偏相关分析。注意：1.相关与回归只是-•种工具，不是不相干的数据拼凑在-•起。2.除X、Y等需研究的因素外，其他的要严格控制一致。（身高与胸围的关系要控制体重）3

4、.对子一般在5对以上4.需限制自变量范围，结果不能随意外延。第一节一元线性回归（一）直线回归方程的建立对于两个相关变量，一个变量用x表示，另一个变量用y表示，如果通过试验或调查获得两个变量的n对观测值：（/I,yl）,（a2,y2,（q,.vn）为宜观看出丸和y间的变化趋势，可将每一对观测值在平面直角坐标系描点，作出散点图例11.1对大白鼠从出生笫6天起，每三天称一次体重，直到第18天。数据见表11.1。试计算日龄X与体重YZ间的回归方程。表11.1大白鼠6-18

5、

6、龄的体重序号12345日龄Xj69121518体垂Yi1116.5222629散点图对X、Y之间的关系有岂观的、整体上的印象

7、，但是否有某种规律性，是接近一条直线还是-•条曲线等，哪一条直线或曲线可以最好地代表X,YZ问的关系，不能做出判断。图11.1人口鼠H龄一体重关系图一、一元正态线性回归统计模型：对于每个Y的观察值刃来说，山于总是带有随机误差，观察值就应该是在均值的基础上再加上一个随机误差，即：(11.2)兀=Q+/3xi+si其中6〜NID©/）。随机谋差服从正态分布。这是一元正态线性回归的统计模型。二、参数a和B的估计模型中的a和B是参数，一般不知道。市于只能得到冇限的观察数据，无法算出准确的a与B的值，只能求岀估计值a和b,并得到yi的估计值为：=a+bx{（11.3）a和b应使残差耳=兀-9/最小。为

8、了避免使正负內互相抵消，定义使残差平方和£（儿-刃）2达到最小的直线为回归线，即令：/=!SS°=£（〉；-a-bxf,且SSe对2、方的一阶偏导数等于01=1亠0da竺=0工#-（工兀J?/”工a-元尸/=1f=l/=1a=y-bx这种方法称为最小二乘法I8b得：>^(-2)(>.-a-bxi)=0/=1fl^(-2)x,.(y.-a-bxi)=Q/=1整理后，得'nnM+贬〉产工％i=l/=1气“n“./=1i=li=l解此方程，得:•

9、Y的总校正平方和;1=15VV=乞（兀•-壬）（兀-刃,称为校正交叉乘积和,/=1则:b=^(11.7)XV$叫样本回归截距，是回归直线与y轴交点的纵坐标，当尸0时，$=自；b叫样本回归系数，表示x改变一个单位，y平均改变的数量；方的符号反映了x影响y的性质，方的绝对值大小反映了x影响y的程度；令叫做回归估计值，是当/在在其研究范围内取某一个值时，y值平均数a+Bx的估计值回归方程的基本性质：1£(力-刃尸最