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《2013-2014学年第二学期高等数学(理工a类)期中试卷解答》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、厦门大学2013-2014学年第二学期《多元微积分学》期中试卷解答一、（6分）求初值问题的解.解:先求对应齐次线性方程的解.特征方程为,特征根为,从而齐次线性方程的通解为.自由项,可设非齐次特解为,其中为待定常数,代入原方程,得,从而.原方程的通解为.将初值条件代入上式,得,从而,即初值问题的解为二、（6分）已知二阶齐次线性方程有两个互为倒数的特解，求及此方程的通解.解：设是原方程的解，则也是原方程的解，代入方程，利用化简得：或即，解得或，代入原方程得，以及通解为.三、（6分）设函数满足，求.解：方程两边对求导，得微分方程，故
2、特征方程是，特征根是.对应齐次方程的通解是注意到方程右端，且不是特征根，因此可设特解为9代入原方程得从而原方程通解为.又令原方程两端，得，由，得从而所求函数为.四、（6分）求曲线在处的法平面.解一：因为曲面在处的法向量为.故曲面在处的切平面方程方程为.曲面在处的法向量为.故曲面在处的切平面方程方程为.因此，曲线在处的切线方程为：.从而切向向量可取为，法平面方程为.解二：方程组两边对求导，得将代入，，于是，可得，所以，切向量可取成9.于是，法平面方程为.五、（6分）求过直线且垂直于平面的平面方程.解一：直线的方向向量为，平面的法
3、向量为，经过且垂直于平面的平面法向量为因为该平面经过，所以经过上的点(1,0,1).故可得该平面方程为，即解二：直线的方程可写成，于是，过直线的平面束方程为，即.由于所求平面与平面垂直，故有，即.于是，所求平面方程为.解三、设所求平面方程为.由直线方程可求得直线上两点和，显然这两点在所求平面上.因此，，又所求平面垂直于已知平面，故.解得，于是，所求平面方程为.六、（6分）求直线在平面上的投影直线方程.解：设过已知直线L的平面束方程为，即9求，使其与已知平面垂直，即要求，得，因此投影直线方程按一般形式给出为：.七、（6分）求过点
4、，与平面平行，且与直线相交的直线的方程.解：设与的交点为，则向量与平面的法向量垂直，从而数量积为零，即.又因为点在直线上，故可设.从而有，所以.因此直线的方程为.八、计算（8分，每小题4分）（1）（2）设，求.解：（1）因于是＝0.（2）对两端求微分，得，9即，由此解得.九、（6分）解:因,于是十、（6分）试讨论函数在处的连续性、可偏导性、可微性.解：因有界，所以故在处连续.因为所以在处可偏导.下面考虑可微性.令9则时，于是因此，故在处可微.十一、（6分），试证明:解法一：由得解法二：由可得,其中,将上式两端对求导数，得上式两
5、端同乘以，得十二、(6分)求在球面处沿外法线方向的方向导数.解:因点在球面上，故.记球面在点处的单位外法线方向为,则9又因为grad,故grad,因此十三、计算下面二重积分（8分，每小题4分）（1）.（2）其中.解：（1）.（2）.十四、（6分）计算二重积分,其中.解：是关于轴对称，而关于为偶函数，关于为奇函数，，，其中。于是，.十五、（6分）交换二重积分的次序，并求其值.解：积分区域，9其中，.所以，于是.十六、（6分）求曲线上到平面距离最近的点。解：解法一：令，可得：。（1）的情形，此时，，解得或者；因为，所以和为所求的点
6、；（2）的情形，则。代入后两个方程解得：或，但这两点距离平面的距离分别为和。综上，距离平面的距离的点应为和.解法二：题目求点,使得最小.因,故若曲线与平面有交点，则这些交点即为所求.由得所求点为.注：若所作拉格朗日函数为或9则需注明.否则在竖坐标的点处偏导数不存在,也就无法通过求的驻点的方式得到本题的所求点(1,0,0)和(0,1,0).但若考虑的情况,则就是第二种解法,可直接求出所求的点，也就用不上拉格朗日乘数法了.9
