集美大学第五届《高等数学》(理工类)竞赛试卷参考解答.doc

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1、集美大学试卷纸（参考解答与评分标准）2012—2013学年第二学期课程名称高等数学(理工类)试卷卷别竞赛试卷A适用学院、专业、年级全校10-12级：信息工程学院、计算机工程学院、机械工程学院各专业及电气、船舶、教技、物理、光电、数学、信计专业考试方式闭卷开卷□备注1.本试卷共6页，答题前请检查；2.考试时间150分钟。总分题号一二三四五六七得分阅卷人得分一、填空题(共40分，每小题5分)1.3.2.设，则的间断点及其类型是是的第二类间断点.3.已知，，则.4.设对一切满足方程，且在取得极值，则是极小值点

2、．5.已知函数在任意点处的增量，且当时，是的高阶无穷小，，则.6.设函数由方程确定，则2.7.设为椭圆，其周长为，则．8.设幂级数的收敛半径为3，则幂级数的收敛区间为.得分二、求极限.（10分）解因为是以为周期的周期函数，所以对任一正整数有.…………3分对于任意的正数，总存在正整数，使，从而，于是有.…………8分当时，.则由夹逼准则得…………10分得分三、设函数连续，且，记，试求，并讨论的连续性.（10分)解因设存在,所以有.又因连续,得,从而有…2分令，则当时，从而由连续，知必连续，于是在时连续.……

3、……6分由导数定义及洛必达法则，得.…………8分又，所以在处连续.于是为连续函数.…………10分得分四、设在上连续，且对任意正整数恒有求及.（7分)解由连续知可积，所以存在，使．…………2分令，由于单调增加且有上界，所以存在.…………5分于是,即，所以…………7分得分五、设函数满足，且.（1）试求函数的表达式；（2）若，求.（13分)解(1)设，则，.…………2分而，…………4分于是由，得.解此微分方程，得,即.…………8分又,知.所以.…………10分(2)利用洛必达法则，有.…………13分得分六、计算

4、，其中为连续函数，为平面在第Ⅳ卦限部分的上侧.（10分)解（利用两类曲面积分的关系求解）平面的法向量，则，…………3分于是.…………10分得分七、记，设方程有三个相异的实根，且，试证：（1）（2）若，则存在点，使.（10分)证明(1)由题意可设，则所以.…………5分(2)令，由，（因在内），连续，利用零点存在定理知，存在点，使.…………10分