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时间：2020-03-03
《数学竞赛专业组选拔试卷和参考解答 - 集美大学试卷纸专业数学试卷数专业试卷数学数专.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、1.函数f(x)=-l-xInx的跳跃间断点为x=l2.当xtO时，护+ln（l-兀）一1与是同阶无穷小，则鸟=3.3.1IX+—X+—xdx-xex+c4.设2sin兀4<2y—3z)=x+2y—3z，贝0—+—dxdy5.已知J7穴心孕则J7宇心石-2.°4x集美大学试卷纸（参考解答与评分标准）学期2012—2013学年第7.设｛暫｝是止值有界数列，则lim28兀]+兀2+…+£8.设D=[^y）\2、（本题9分）求极限lim（l-x）3yn2xM..v->lCOOC00解注意到工7?'x"=违〉'才1,记S(x)=工农，则当3、x4、<1Ibf,有n==in=ln==x(^xnyw=lX-xy=8=送o"y‘fl=l（7分）从而S(x)=[X(1—X)1Iylim(l-x)3Vn:xn=lim(l-x)3x=2.Z铝x"(1-X)ccXT1（10分）得分三、(本题9分)设/r(x)=arcsin(x-l)2,且/(0)=0求/=jjx)dx.解山分部积分公式可得,J。f(x)dx=[xf(x)]J,-J。xfx)厶=/(1)一J。兀arcsindx.(3分)5、又由N-L公式知，/(l)=/(l)-/(0)=ffx}clx=farcsin(x-1)2dx^所以JoJoL1r=x-l(1-x)arcsin(x-1)2dx==一rarcsinr2dtr0°。J严csW厂[t2arcsinr222r37^7df]S(d,Z?)=6、(^bx-x1-ax)dx=[~x2--x3]'{~a=-(b-a)3.o236（4分）（10分）问题归结为求s（d,b）在约束条件a2+h2=1下的最值.为此，作函数F（a,b,A）=一（b—cif+2（a~+b~—I），6得分四、（本题10分）设/⑴在上叫导，对Vx,ye,恒有/（兀+刃=eyf（x7、）+exf（y）,且广（0）=2.求口）・则由方程组町=_3—d)2/2+2加=0•巧;=3一。)2/2+2劝=0解得唯一条件驻点F；=a2+b2-=0—此时S=—V2.V2V23（10分）解在/(x+y)=eyf{x)+exf(y)中,取兀=y=0代入得,/(0+0)=2/(0)=>/(0)=0.(2分)对色w(固定),将f(x+y)=eyf(x)+exf(y)两边关于y求导可得,又因为当d=0,〃=l时，或当a=-Vb=0时，S=丄，所以所求面积的最大值和最小值分别6为Smax=[3o八兀+刃(0+1)="/(兀)+8、2,可得广(x)=f(x)+2ex.记^=/(/),则)，=/'(/),解微分方程—y=得通解-He]=e2t+c),而曲y,=°=0得c=0,所以y=2td,即W(5分)（10分）六、（本题10分）设/（兀）在[0,1]上非负连续，且严⑴51+2匸/（/）力，证明：对Vxg[0,1],有f（x）9、l+x.(10分)五、（本题10分）设°,b满足xdx=—（tz<010、dx=-J°xdx+J（）xd_x=+（q‘+//）=*,所以a1+b~=1.1佃曲线y=F+处与直线y=bx所围区域的面积为得分从而原方程化成—=0.dudv(9分)a2z(2)山(1)得'•=0二dudv>©jo=dvdu>务曲）=OU：>?(〃,")=^(p(u)du+,七、（本题12分）设z=z（x,y）二阶偏导数连续，II满足方程力空+2B=+C空=0,其中B2-AC>0.dx~dxdydy^若11、作变换试确定久0的值，使得原方程化成芈=0,并求z（x,y）的一般表示式.v=x+Pyoiiov记①(“)=^(p{u)du,则z(x,y)的一般表示式为zgy)=©(")+00)二①(x+ay)+y/(x+fiy).(12分)解（1）将兀y视为自变量，s视为中间变量,由链锁法则可得,dzdzdudzdvdzdzdz8zdu比dvdzn8z—=1=1,=1=CCFp—;dxdudxdvdxdudvdydudydvdydudv竽=(空+-^£)+(^^+=)=T+2oOrdurdudvdvdudv^du^dudv亦缶P(賽"+等0)+0(手"+賽0)
2、（本题9分）求极限lim（l-x）3yn2xM..v->lCOOC00解注意到工7?'x"=违〉'才1,记S(x)=工农，则当
3、x
4、<1Ibf,有n==in=ln==x(^xnyw=lX-xy=8=送o"y‘fl=l（7分）从而S(x)=[X(1—X)1Iylim(l-x)3Vn:xn=lim(l-x)3x=2.Z铝x"(1-X)ccXT1（10分）得分三、(本题9分)设/r(x)=arcsin(x-l)2,且/(0)=0求/=jjx)dx.解山分部积分公式可得,J。f(x)dx=[xf(x)]J,-J。xfx)厶=/(1)一J。兀arcsindx.(3分)
5、又由N-L公式知，/(l)=/(l)-/(0)=ffx}clx=farcsin(x-1)2dx^所以JoJoL1r=x-l(1-x)arcsin(x-1)2dx==一rarcsinr2dtr0°。J严csW厂[t2arcsinr222r37^7df]S(d,Z?)=
6、(^bx-x1-ax)dx=[~x2--x3]'{~a=-(b-a)3.o236（4分）（10分）问题归结为求s（d,b）在约束条件a2+h2=1下的最值.为此，作函数F（a,b,A）=一（b—cif+2（a~+b~—I），6得分四、（本题10分）设/⑴在上叫导，对Vx,ye,恒有/（兀+刃=eyf（x
7、）+exf（y）,且广（0）=2.求口）・则由方程组町=_3—d)2/2+2加=0•巧;=3一。)2/2+2劝=0解得唯一条件驻点F；=a2+b2-=0—此时S=—V2.V2V23（10分）解在/(x+y)=eyf{x)+exf(y)中,取兀=y=0代入得,/(0+0)=2/(0)=>/(0)=0.(2分)对色w(固定),将f(x+y)=eyf(x)+exf(y)两边关于y求导可得,又因为当d=0,〃=l时，或当a=-Vb=0时，S=丄，所以所求面积的最大值和最小值分别6为Smax=[3o八兀+刃(0+1)="/(兀)+8、2,可得广(x)=f(x)+2ex.记^=/(/),则)，=/'(/),解微分方程—y=得通解-He]=e2t+c),而曲y,=°=0得c=0,所以y=2td,即W(5分)（10分）六、（本题10分）设/（兀）在[0,1]上非负连续，且严⑴51+2匸/（/）力，证明：对Vxg[0,1],有f（x）9、l+x.(10分)五、（本题10分）设°,b满足xdx=—（tz<010、dx=-J°xdx+J（）xd_x=+（q‘+//）=*,所以a1+b~=1.1佃曲线y=F+处与直线y=bx所围区域的面积为得分从而原方程化成—=0.dudv(9分)a2z(2)山(1)得'•=0二dudv>©jo=dvdu>务曲）=OU：>?(〃,")=^(p(u)du+,七、（本题12分）设z=z（x,y）二阶偏导数连续，II满足方程力空+2B=+C空=0,其中B2-AC>0.dx~dxdydy^若11、作变换试确定久0的值，使得原方程化成芈=0,并求z（x,y）的一般表示式.v=x+Pyoiiov记①(“)=^(p{u)du,则z(x,y)的一般表示式为zgy)=©(")+00)二①(x+ay)+y/(x+fiy).(12分)解（1）将兀y视为自变量，s视为中间变量,由链锁法则可得,dzdzdudzdvdzdzdz8zdu比dvdzn8z—=1=1,=1=CCFp—;dxdudxdvdxdudvdydudydvdydudv竽=(空+-^£)+(^^+=)=T+2oOrdurdudvdvdudv^du^dudv亦缶P(賽"+等0)+0(手"+賽0)
8、2,可得广(x)=f(x)+2ex.记^=/(/),则)，=/'(/),解微分方程—y=得通解-He]=e2t+c),而曲y,=°=0得c=0,所以y=2td,即W(5分)（10分）六、（本题10分）设/（兀）在[0,1]上非负连续，且严⑴51+2匸/（/）力，证明：对Vxg[0,1],有f（x）9、l+x.(10分)五、（本题10分）设°,b满足xdx=—（tz<010、dx=-J°xdx+J（）xd_x=+（q‘+//）=*,所以a1+b~=1.1佃曲线y=F+处与直线y=bx所围区域的面积为得分从而原方程化成—=0.dudv(9分)a2z(2)山(1)得'•=0二dudv>©jo=dvdu>务曲）=OU：>?(〃,")=^(p(u)du+,七、（本题12分）设z=z（x,y）二阶偏导数连续，II满足方程力空+2B=+C空=0,其中B2-AC>0.dx~dxdydy^若11、作变换试确定久0的值，使得原方程化成芈=0,并求z（x,y）的一般表示式.v=x+Pyoiiov记①(“)=^(p{u)du,则z(x,y)的一般表示式为zgy)=©(")+00)二①(x+ay)+y/(x+fiy).(12分)解（1）将兀y视为自变量，s视为中间变量,由链锁法则可得,dzdzdudzdvdzdzdz8zdu比dvdzn8z—=1=1,=1=CCFp—;dxdudxdvdxdudvdydudydvdydudv竽=(空+-^£)+(^^+=)=T+2oOrdurdudvdvdudv^du^dudv亦缶P(賽"+等0)+0(手"+賽0)
9、l+x.(10分)五、（本题10分）设°,b满足xdx=—（tz<010、dx=-J°xdx+J（）xd_x=+（q‘+//）=*,所以a1+b~=1.1佃曲线y=F+处与直线y=bx所围区域的面积为得分从而原方程化成—=0.dudv(9分)a2z(2)山(1)得'•=0二dudv>©jo=dvdu>务曲）=OU：>?(〃,")=^(p(u)du+,七、（本题12分）设z=z（x,y）二阶偏导数连续，II满足方程力空+2B=+C空=0,其中B2-AC>0.dx~dxdydy^若11、作变换试确定久0的值，使得原方程化成芈=0,并求z（x,y）的一般表示式.v=x+Pyoiiov记①(“)=^(p{u)du,则z(x,y)的一般表示式为zgy)=©(")+00)二①(x+ay)+y/(x+fiy).(12分)解（1）将兀y视为自变量，s视为中间变量,由链锁法则可得,dzdzdudzdvdzdzdz8zdu比dvdzn8z—=1=1,=1=CCFp—;dxdudxdvdxdudvdydudydvdydudv竽=(空+-^£)+(^^+=)=T+2oOrdurdudvdvdudv^du^dudv亦缶P(賽"+等0)+0(手"+賽0)
10、dx=-J°xdx+J（）xd_x=+（q‘+//）=*,所以a1+b~=1.1佃曲线y=F+处与直线y=bx所围区域的面积为得分从而原方程化成—=0.dudv(9分)a2z(2)山(1)得'•=0二dudv>©jo=dvdu>务曲）=OU：>?(〃,")=^(p(u)du+,七、（本题12分）设z=z（x,y）二阶偏导数连续，II满足方程力空+2B=+C空=0,其中B2-AC>0.dx~dxdydy^若
11、作变换试确定久0的值，使得原方程化成芈=0,并求z（x,y）的一般表示式.v=x+Pyoiiov记①(“)=^(p{u)du,则z(x,y)的一般表示式为zgy)=©(")+00)二①(x+ay)+y/(x+fiy).(12分)解（1）将兀y视为自变量，s视为中间变量,由链锁法则可得,dzdzdudzdvdzdzdz8zdu比dvdzn8z—=1=1,=1=CCFp—;dxdudxdvdxdudvdydudydvdydudv竽=(空+-^£)+(^^+=)=T+2oOrdurdudvdvdudv^du^dudv亦缶P(賽"+等0)+0(手"+賽0)
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