数学竞赛专业组选拔试卷—参考解答(新)(1)

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1、集美大学试卷纸（参考解答）2a1x11得2a2ax02010—2011学年第一学期分二、设n元方程组AXb，其中A，X2，b.1试卷a22ax0课程名称数学竞赛（专业组）选拔试卷n卷别n（1）证明：行列式A(n1)a；适用07-08级考试闭卷□√（2）a取何值，方程组有唯一解？求x；学院、专业、1数学与应用数学、信息与计算科学专业方式开卷□年级（3）a取何值，方程组有无穷多解？求通解.（12分）备注1.本试卷共8页；2.考试时间150分钟。线学解（1）按第一行展开，得号总分

2、题号一二三四五六七八2a1栏得分2a2a2D2aDaDnn1n21阅卷人2a2a息姓n名n1n2利用数学归纳法，设Dna,D(n1)a，则有2n1n2y0x0xyc0得一、求与两直线,(c0)都相交，且与双曲线2nnn订分zczcz0Dn2aDn1aDn22na(n1)a(n1)a.信班Dn级也相交的动直线所形成的曲面方程，并说明该曲面的形状名称.（15分）（2）a0时，利用Cramer法则，解得xn1.1D(n1)an生（3）a0时有无穷多解，分别求原方程组的一个特解及

3、导出组的基础解系，解在两直线上分别任取一点(,0,c),(0,,c)，,为参数，于是动直线方程为01考xyzc10专①可得通解为Xk.业2c装xy1200它与双曲线相交，故令z0，可得，即x,y代入xyc0，得22224c0②22由①②消去,，得zxyc即为所求.学院把x,y轴旋转450，即令xxy,yxy，曲面方程化为2222zxyc可见该曲面是单叶双曲面.P1P2n得三、设,是n维线性空间V的两个线性变换，

4、证明：核空间的维数满足四、设A是实方阵，若对于实数0，存在非零向量及自然数n，得分dim1(0)dim1(0)dim()1(0)dim1(0).（10分）分使得(AE)n0，则称是A的属于的根向量.试证：00（1）若A的属于的根向量存在，则是A的特征值.001111证明(0)()0()0()(0)(0)()(0),（2）若是A的特征值，则A的属于的根向量存在；并问属于的所有根向量添00011所以dim(0)dim()(0).上零向量的集合W能否作成

5、n的子空间？为什么?1111设dim(0)t,dim()(0)ts,dim(0)k.把(0)的一组基1,2,,t（3）A的属于不同特征值的根向量必线性无关.（13分）1扩充成()(0)的一组基,,,,,,,，有12t12s线kk1证明（1）不妨设(AE)0，但(AE)0，于是00学()()01(0),j1,2,,s号jjjk1k1k1(AE)[(AE)]0，即A[(AE)][(AE)]00000下面证(),(),,

6、()线性无关.栏12s可见是A的特征值.0令x()x()x()0，则1122ss（2）设是对应于的特征向量，则有(AE)0，故也是根向量.00息姓(x11x22xss)0，名任取的两个根向量,，并设(AE)n10，(AE)n20.01201021从而xxx(0)，于是1122ss取nmax(n,n)，则12信订x11x22xssy11y22ytt，n(AE)(kk)0，01122班由,,,,,,,线性无关，即

7、得xxx0.12t12s12s级可见kkW，即W是子空间.11221生可见(0)至少包含s个线性无关的向量，即ks，所以（3）设,分别是属于,（）的根向量，即有121212111dim(0)dim(0)ktstdim()(0).(AE)n10，(AE)n201122考专设kk0，则(AE)n1k(AE)n1k0，可得1122111122业k(AE)n10.装212若k0，则(AE)n10，说明是属于的根向量，矛盾；所以k0，从而k0