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1、第二节双因素试验的方差分析进行某一项试验，当影响指标的因素不是一个而是多个时，要分析各因素的作用是否显著，就要用到多因素的方差分析.本节就两个因素的方差分析作一简介.当有两个因素时，除每个因素的影响之外，还有这两个因素的搭配问题.如表9-7中的两组试验结果，都有两个因素A和B，每个因素取两个水平.ABA1A2B1B2305010080表9-7(a)表9-7(b)ABA1A2B1B230507090表9-7（a）中，无论B在什么水平（B1还是B2），水平A2下的结果总比A1下的高20；同样地，无论A是什么水平，B2下的结果总比B1下的高40.这说明A和B单独地各自影响结果，互相之间没有
2、作用.表9-7(b)中，当B为B1时，A2下的结果比A1的高，而且当B为B2时，A1下的结果比A2的高；类似地，当A为A1时，B2下的结果比B1的高70，而A为A2时，B2下的结果比B1的高30.这表明A的作用与B所取的水平有关，而B的作用也与A所取的水平有关.即A和B不仅各自对结果有影响，而且它们的搭配方式也有影响.我们把这种影响称作因素A和B的交互作用，记作A×B.在双因素试验的方差分析中，我们不仅要检验水平A和B的作用，还要检验它们的交互作用.1.双因素等重复试验的方差分析设有两个因素A，B作用于试验的指标，因素A有r个水平A1,A2,…,Ar,因素B有s个水平B1,B2,…,
3、Bs,现对因素A，B的水平的每对组合(Ai,Bj),i=1,2,…,r；j=1,2,…,s都作t(t≥2)次试验（称为等重复试验），得到如表9-8的结果：表9-8因素B因素AB1B2…BsA1x111,x112…,x11tx121,x122…,x12t…x1s1,x1s2…,x1stA2x211,x212…,x21tx221,x222…,x22t…x2s1,x2s2,…,x2st……………Arxr11,xr12…,xr1txr21,xr22…,xr2t…xrs1,xrs2…,xrst设xijk~N(μij,σ2),i=1,2,…,r；j=1,2,…,s；k=1,2,…,t,各xijk
4、独立.这里μij,σ2均为未知参数.或写为(9.16)记8μ=,,i=1,2,…,r,,j=1,2,…,s,,i=1,2,…,r,,j=1,2,…,s,.于是μij=μ+αi+βj+γij.(9.17)称μ为总平均，αi为水平Ai的效应，βj为水平Bj的效应，γij为水平Ai和水平Bj的交互效应，这是由Ai,Bj搭配起来联合作用而引起的.易知=0,=0，=0,j=1,2,…,s,=0,i=1,2,…,r，这样（9.16）式可写成(9.18)其中μ,αi,βj,γij及σ2都为未知参数.（9.18）式就是我们所要研究的双因素试验方差分析的数学模型.我们要检验因素A，B及交互作用A×B是
5、否显著.要检验以下3个假设：类似于单因素情况，对这些问题的检验方法也是建立在平方和分解上的.记8,,i=1,2,…,r；j=1,2,…,s，,i=1,2,…,r，,j=1,2,…,s，ST=.不难验证分别是μ,μi·,μ·j,μij的无偏估计.由，1≤i≤r,1≤j≤s,1≤k≤t得平方和的分解式：ST=SE＋SA＋SB＋SA×B，(9.19)其中SE=，SA=，SB=，SA×B=.SE称为误差平方和，SA，SB分别称为因素A，B的效应平方和，SA×B称为A，B交互效应平方和.当H01:α1=α2=…=αr=0为真时，FA=~F(r-1,rs(t-1))；当假设H02为真时，FB=~
6、F(s-1,rs(t-1))；8当假设H03为真时，FA×B=~F((r-1)(s-1),rs(t-1)).当给定显著性水平α后，假设H01，H02，H03的拒绝域分别为：(9.20)经过上面的分析和计算，可得出双因素试验的方差分析表9-9.表9-9方差来源平方和自由度均方和F比因素ASAr-1FA=因素BSBs-1FB=交互作用SA×B(r-1)(s-1)FA×B=误差SErs(t-1)总和STrst-1在实际中，与单因素方差分析类似可按以下较简便的公式来计算ST，SA，SB，SA×B,SE.记T···=，Tij·=,i=1,2,…,r;j=1,2,…,s，Ti··=,i=1,2,
7、…,r,T·j·=,j=1,2,…,s,即有8(9.21)例9.5用不同的生产方法（不同的硫化时间和不同的加速剂）制造的硬橡胶的抗牵拉强度（以kg·cm-2为单位）的观察数据如表9-10所示.试在显著水平0.10下分析不同的硫化时间（A），加速剂（B）以及它们的交互作用（A×B）对抗牵拉强度有无显著影响.表9-10140℃下硫化]时间（秒）加速剂甲乙丙40608039，3643，3737，4141，3542，3939，4040，3043，3636，38解按
