第六篇 第5讲 数列的综合应用

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1、第5讲数列的综合应用A级基础演练(时间：30分钟满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．已知{an}为等比数列．下面结论中正确的是()．A．a2221＋a3≥2a2B．a1＋a3≥2a2C．若a1＝a3，则a1＝a2D．若a3>a1，则a4>a2解析设公比为q，对于选项A，当a1<0，q≠1时不正确；选项C，当q＝－1时不正确；选项D，当a21＝1，q＝－2时不正确；选项B正确，因为a1＋a223≥2a1a3＝2a2.答案B2．满足a*1＝1，log2an＋1＝log2an＋1(n∈N)，它的前n项和为Sn，则满足Sn>1025的最小n值是()．A．9B．10C．11D．12

2、解析因为a*n－11＝1，log2an＋1＝log2an＋1(n∈N)，所以an＋1＝2an，an＝2，Sn＝2n－1，则满足Sn>1025的最小n值是11.答案C3．(2013·威海期中)某化工厂打算投入一条新的生产线，但需要经环保部门审批1同意方可投入生产．已知该生产线连续生产n年的累计产量为f(n)＝n(n＋21)(2n＋1)吨，但如果年产量超过150吨，将会给环境造成危害．为保护环境，环保部门应给该厂这条生产线拟定最长的生产期限是()．A．5年B．6年C．7年D．8年解析由已知可得第n年的产量a2n＝f(n)－f(n－1)＝3n.当n＝1时也适合，据题意令an≥150⇒n≥52，

3、即数列从第8项开始超过150，即这条生产线最多生产7年．答案C4．(2013·福州模拟)在等差数列{an}中，满足3a4＝7a7，且a1>0，Sn是数列{an}前n项的和，若Sn取得最大值，则n＝()．A．7B．8C．9D．10解析设公差为d，由题设3(a1＋3d)＝7(a1＋6d)，4所以d＝－a1<0.334－a1解不等式an>0，即a1＋(n－1)33>0，37所以n<，则n≤9，4当n≤9时，an>0，同理可得n≥10时，an<0.故当n＝9时，Sn取得最大值．答案C二、填空题(每小题5分，共10分)5．(2012·赣州模拟)设关于x的不等式x2－x＜2nx(n∈N*)的解集中整

4、数的个数为an，数列{an}的前n项和为Sn，则S100的值为________．解析由x2－x＜2nx(n∈N*)，得0＜x＜2n＋1，因此知an＝2n.1002＋200∴S100＝＝10100.2答案101006．(2013·南通模拟)已知a，b，c成等比数列，如果a，x，b和b，y，c都成等ac差数列，则＋＝________.xya＋bb＋c解析赋值法．如令a，b，c分别为2,4,8，可求出x＝＝3，y＝＝6，22ac＋＝2.xy答案2三、解答题(共25分)7．(12分)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，S5＝35，a5和a7的等差中项为13.(1)求an及Sn；4(2)令b

5、*n＝(n∈N)，求数列{bn}的前n项和Tn.a2n－1解(1)设等差数列{an}的公差为d，因为S5＝5a3＝35，a5＋a7＝26，a1＋2d＝7，所以解得a1＝3，d＝2，2a1＋10d＝26，所以an＝3＋2(n－1)＝2n＋1，nn－1S2n＝3n＋×2＝n＋2n.2(2)由(1)知an＝2n＋1，4111所以bn＝＝＝－，a2nn＋1nn＋1n－1111111－－－所以Tn＝2＋23＋…＋nn＋11n＝1－＝.n＋1n＋1n＋18．(13分)(2012·广东)设数列{an}的前n项和为Sn，满足2Sn＝an＋1－2＋1，n∈N*，且a1，a2＋5，a3成等差数列．(

6、1)求a1的值；(2)求数列{an}的通项公式；1113(3)证明：对一切正整数n，有＋＋…＋<.a1a2an2(1)解当n＝1时，2a1＝a2－4＋1＝a2－3，①当n＝2时，2(a1＋a2)＝a3－8＋1＝a3－7，②又a1，a2＋5，a3成等差数列，所以a1＋a3＝2(a2＋5)，③由①②③解得a1＝1.(2)解∵2Sn＋1n＝an＋1－2＋1，∴当n≥2时，有2Snn－1＝an－2＋1，nan＋13an两式相减整理得an＋1－3an＝2，则2n－2·2n－1＝1，anan＋13n－1＋2a1即＋2＝2.又＋2＝3，知2n220ann－1＋232是首项为3，公比为的等比数列，23a

7、nn－1∴＋2＝32，2n－1即annnn.n＝3－2，n＝1时也适合此式，∴an＝3－211(3)证明由(2)得＝.an3n－2n3当n≥2时，2n>2，即3n－2n>2n，111111123n11－n－13∴＋＋…＋<1＋2＋2＋…＋2＝1＋2<.a1a2an22B级能力突破(时间：30分钟满分：45分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．(2012·济南质检)设y＝f(x)是一次函数，若f(0)＝1，且f(1)，f(4)，f