第5讲　数列的综合应用

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1、第5讲　数列的综合应用一、选择题1．(2014·昆明调研)公比不为1的等比数列{an}的前n项和为Sn，且－3a1，－a2，a3成等差数列，若a1＝1，则S4＝(　　)．A．－20　B．0　　　C．7　　　D．402．若－9，a，－1成等差数列，－9，m，b，n，－1成等比数列，则ab＝(　　)．A．15　　　B．－15　　　　C．±15　　D．103．(2014·德州模拟)数列{an}满足a1＝1，log2an＋1＝log2an＋1(n∈N*)，它的前n项和为Sn，则满足Sn>1025的最小n值是

2、(　　)．A．9　　　B．10　　C．11　　　D．124．已知{an}为等比数列，Sn是它的前n项和．若a2·a3＝2a1，且a4与2a7的等差中项为，则S5＝(　　)．A．35　　　B．33　　　C．31　　　D．295．(2014·兰州模拟)设y＝f(x)是一次函数，若f(0)＝1，且f(1)，f(4)，f(13)成等比数列，则f(2)＋f(4)＋…＋f(2n)等于(　　)．A．n(2n＋3)　　B．n(n＋4)C．2n(2n＋3)　　　D．2n(n＋4)二、填空题6．(2014·绍兴调研)已

3、知实数a1，a2，a3，a4构成公差不为零的等差数列，且a1，a3，a4构成等比数列，则此等比数列的公比等于________．7．(2013·江西卷)某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n(n∈N*)等于________．8．(2013·山东省实验中学诊断)数列{an}满足a1＝3，an－anan＋1＝1，An表示{an}前n项之积，则A2013＝________.三、解答题9．(2014·杭州模拟)设{an}是公比大于1的等比数列，S

4、n为数列{an}的前n项和．已知S3＝7，且a1＋3,3a2，a3＋4构成等差数列．(1)求数列{an}的通项公式．(2)令bn＝nan，n＝1,2，…，求数列{bn}的前n项和Tn.10．(2013·湛江二模)已知函数f(x)＝x2－2x＋4，数列{an}是公差为d的等差数列，若a1＝f(d－1)，a3＝f(d＋1)，(1)求数列{an}的通项公式；(2)Sn为{an}的前n项和，求证：＋＋…＋≥.1第5讲　数列的综合应用一、选择题1．A2．　A3．　C4．C5．　A二、填空题6．　7．　68．解

5、析　由a1＝3，an－anan＋1＝1，得an＋1＝，所以a2＝＝，a3＝－，a4＝3，所以{an}是以3为周期的数列，且a1a2a3＝－1，又2013＝3×671，所以A2013＝(－1)671＝－1.三、9．解　(1)由已知，得解得a2＝2.设数列{an}的公比为q，由a2＝2，可得a1＝，a3＝2q.又S3＝7，可知＋2＋2q＝7，即2q2－5q＋2＝0，解得q＝2或.由题意得q＞1，所以q＝2.则a1＝1.故数列{an}的通项为an＝2n－1.(2)由于bn＝n·2n－1，n＝1,2，…，则

6、Tn＝1＋2×2＋3×22＋…＋n×2n－1，所以2Tn＝2＋2×22＋…＋(n－1)×2n－1＋n×2n，两式相减得－Tn＝1＋2＋22＋23＋…＋2n－1－n×2n＝2n－n×2n－1，即Tn＝(n－1)2n＋1.10．(1)解　a1＝f(d－1)＝d2－4d＋7，a3＝f(d＋1)＝d2＋3，又由a3＝a1＋2d，可得d＝2，所以a1＝3，an＝2n＋1.(2)证明　Sn＝＝n(n＋2)，＝＝，所以，＋＋…＋＝＝≥＝.能力提升题组(建议用时：25分钟)1一、选择题1．(2014·福州模拟)在等

7、差数列{an}中，满足3a4＝7a7，且a1>0，Sn是数列{an}前n项的和，若Sn取得最大值，则n＝(　　)．A．7　　　B．8　　C．9　　　D．102．已知f(x)＝bx＋1是关于x的一次函数，b为不等于1的常数，且g(n)＝设an＝g(n)－g(n－1)(n∈N*)，则数列{an}为(　　)．A．等差数列　　　B．等比数列C．递增数列　D．递减数列二、填空题3．(2013·浙江五校联考)设x为实数，[x]为不超过实数x的最大整数，记{x}＝x－[x]，则{x}的取值范围是[0,1)，现定义

8、无穷数列{an}如下：a1＝{a}，当an≠0时，an＋1＝；当an＝0时，an＋1＝0.如果a＝，则a2013＝________.三、解答题4．已知等比数列{an}满足2a1＋a3＝3a2，且a3＋2是a2，a4的等差中项．(1)求数列{an}的通项公式；(2)若bn＝an＋log2，Sn＝b1＋b2＋…＋bn，求使Sn－2n＋1＋47<0成立的n的最小值．5.（本小题满分12分）已知等差数列，公差，前项和为，且满足.(1)求数列的通项公式及前项和；(2)设，若也是