第五章第5讲数列的综合应用

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1、第5讲　数列的综合应用__等差数列与等比数列的综合问题______　(2014·高考北京卷)已知{an}是等差数列，满足a1＝3，a4＝12，数列{bn}满足b1＝4，b4＝20，且{bn－an}为等比数列．(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；(2)求数列{bn}的前n项和．[解]　(1)设等差数列{an}的公差为d，由题意得d＝＝＝3，所以an＝a1＋(n－1)d＝3n(n＝1，2，…)．设等比数列{bn－an}的公比为q，由题意得q3＝＝＝8，解得q＝2.所以bn－an＝(b1－a1)qn－1＝2n－1.从

2、而bn＝3n＋2n－1(n＝1，2，…)．(2)由(1)知bn＝3n＋2n－1(n＝1，2，…)．数列{3n}的前n项和为n(n＋1)，数列{2n－1}的前n项和为＝2n－1.所以，数列{bn}的前n项和为n(n＋1)＋2n－1.[规律方法]　解决等差数列与等比数列的综合问题，关键是理清两个数列的关系．如果同一数列中部分项成等差数列，部分项成等比数列，要把成等差数列或等比数列的项抽出来单独研究；如果两个数列通过运算综合在一起，要从分析运算入手，把两个数列分割开弄清两个数列各自的特征，再进行求解．　　　1.(2013·

3、高考课标全国卷Ⅱ)已知等差数列{an}的公差不为零，a1＝25，且a1，a11，a13成等比数列．(1)求{an}的通项公式；(2)求a1＋a4＋a7＋…＋a3n－2.　　解：(1)设{an}的公差为d，由题意得a＝a1a13，即(a1＋10d)2＝a1(a1＋12d)．于是d(2a1＋25d)＝0.又a1＝25，所以d＝0(舍去)，d＝－2.故an＝－2n＋27.(2)令Sn＝a1＋a4＋a7＋…＋a3n－2.由(1)知a3n－2＝－6n＋31，故{a3n－2}是首项为25，公差为－6的等差数列．从而Sn＝(a1＋

4、a3n－2)＝(－6n＋56)＝－3n2＋28n.__数列的实际应用问题__________________　某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备M，M的价值在使用过程中逐年减少．从第2年到第6年，每年初M的价值比上年初减少10万元；从第7年开始，每年初M的价值为上年初的75%.(1)求第n年初M的价值an的表达式；(2)设Sn表示数列{an}的前n项和，求Sn(n≥7)．[解]　(1)当n≤6时，数列{an}是首项为120，公差为－10的等差数列，an＝120－10(n－1)＝130－10n；当n≥6时，

5、数列{an}是以a6为首项，为公比的等比数列．又a6＝70，所以an＝70×.因此，第n年初，M的价值an的表达式为an＝(2)由等差及等比数列的求和公式得当n≥7时，由于S6＝570，故Sn＝S6＋(a7＋a8＋…＋an)＝570＋70××4×＝780－210×.[规律方法]　解答数列实际应用问题的步骤：(1)确定模型类型：理解题意，看是哪类数列模型，一般有等差数列模型、等比数列模型、简单的递推数列模型．基本特征见下表：数列模型基本特征等差数列均匀增加或者减少等比数列指数增长，常见的是增产率问题、存款复利问题简单递

6、推数列指数增长的同时又均匀减少．如年收入增长率为20%，每年年底要拿出a(常数)作为下年度的开销，即数列{an}满足an＋1＝1.2an－a(2)准确解决模型：解模就是根据数列的知识，求数列的通项、数列的和、解方程(组)或者不等式(组)等，在解模时要注意运算准确；(3)给出问题的答案：实际应用问题最后要把求解的数学结果化为对实际问题的答案，在解题中不要忽视了这点．　　　2.现有流量均为300m3s的两条河A，B汇合于某处后，不断混合，它们的含沙量分别为2kgm3和0.2kgm3，假设从汇合处开始，沿岸设有若干观

7、测点，两股水流在流经相邻两个观测点的过程中，其混合效果相当于两股水流在1s内交换100m3的水量，即从A股流入B股100m3水，经混合后，又从B股流入A股100m3水并混合，问从第几个观测点开始，两股河水的含沙量之差小于0.01kgm3(不考虑沙沉淀)．解：设第n个观测点处A股水流含沙量为ankgm3，B股水流含沙量为bnkgm3，则a1＝2，b1＝0.2，bn＝(300bn－1＋100an－1)＝(3bn－1＋an－1)，an＝(300an－1＋100bn－1)＝(3an－1＋bn－1)，an－bn＝(an－

8、1－bn－1)，∴{an－bn}是以(a1－b1)为首项，为公比的等比数列．∴an－bn＝×.解不等式×<10－2，得2n－1>180，∴n≥9.因此，从第9个观测点开始，两股水流的含沙量之差小于0.01kgm3.__数列与不等式的综合问题(高频考点)__数列与不等式的综合问题是每年高考的难点，多为解答题，难度偏大．高考对数列与不等式的综合问