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《第14讲 数列求和及数列的综合应用》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第14讲 数列求和及数列的综合应用 [P82]一、选择题 1.设函数f(x)＝xm＋ax的导函数f′(x)＝2x＋1,则数列{}(n∈N*)的前n项和是(C)A.B.C.D.解析：因为f′(x)＝2x＋1,所以f(x)＝x2＋x,＝＝－,易求得其和为C. 2.若正项数列{an}满足lgan＋1＝1＋lgan,且a2001＋a2002＋a2003＋…＋a2010＝2013,则a2011＋a2012＋a2013＋…＋a2020的值为(A)A.2013×1010B.2013×1011C.2014×1010D.2014×1011解析：由lgan＋1＝1＋lgan,可得lg＝1,＝1
2、0,a2011＋a2012＋a2013＋…＋a2020＝(a2001＋a2002＋a2003＋…＋a2010)×1010＝2013×1010. 3.设某商品一次性付款的金额为a元,以分期付款的形式等额地分成n次付清,若每期利率r保持不变,按复利计算,则每期期末所付款是(B)A.(1＋r)n元B.元C.(1＋r)n－1元D.元解析：设每期期末所付款是x元,则各次付款的本利和为x(1＋r)n－1＋x(1＋r)n－2＋x(1＋r)n－3＋…＋x(1＋r)＋x＝a(1＋r)n,即x·＝a(1＋r)n,故x＝.二、填空题 4.(原创题)已知数列{an}满足a1＝－1,∀n∈N*,an
3、＋an＋1＝2,其前n项和为Sn,则S2017＝ 2015 .解析：S2017＝a1＋(a2＋a3)＋(a4＋a5)＋…＋(a2016＋a2017)＝－1＋×2＝2015. 5.(2016·湖南十三校联考)已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn＝2n－an,则数列{an}的通项公式an＝ 2－()n－1 .解析：当n＝1时,a1＝1；当n≥2时,an＝Sn－Sn－1,所以2an＝an－1＋2,则2(an－2)＝an－1－2,所以an－2＝(a1－2)()n－1,an＝2－()n－1.三、解答题 6.(2016·山西太原市二模)数列{an}的前n项和记为Sn,a1＝t,点(
4、Sn,an＋1)在直线y＝3x＋1上,n∈N*.(1)当实数t为何值时,数列{an}是等比数列；(2)在(1)的结论下,设bn＝log4an＋1,cn＝an＋bn,Tn是数列{cn}的前n项和,求Tn.解析：(1)因为点(Sn,an＋1)在直线y＝3x＋1上,所以an＋1＝3Sn＋1,an＝3Sn－1＋1(n>1,且n∈N*),an＋1－an＝3(Sn－Sn－1)＝3an,所以an＋1＝4an,n>1,a2＝3S1＋1＝3a1＋1＝3t＋1,所以当t＝1时,a2＝4a1,数列{an}是等比数列.(2)在(1)的结论下,an＋1＝4an,an＋1＝4n,bn＝log4an＋1
5、＝n,cn＝an＋bn＝4n－1＋n,Tn＝c1＋c2＋…＋cn＝(40＋1)＋(41＋2)＋…＋(4n－1＋n)＝(1＋4＋42＋…＋4n－1)＋(1＋2＋3＋…＋n)＝＋. 7.(2016·甘肃兰州高三实战)等差数列{an}中,已知an>0,a1＋a2＋a3＝15,且a1＋2,a2＋5,a3＋13构成等比数列{bn}的前三项.(1)求数列{an},{bn}的通项公式；(2)求数列{an·bn}的前n项和Tn.解析：(1)设等差数列的公差为d,则由已知得：a1＋a2＋a3＝3a2＝15即a2＝5,又(5－d＋2)(5＋d＋13)＝100,解得d＝2或d＝－13(舍),a1
6、＝a2－d＝3,所以an＝a1＋(n－1)×d＝2n＋1,又b1＝a1＋2＝5,b2＝a2＋5＝10,所以q＝2,所以bn＝5×2n－1.(2)因为Tn＝5[3＋5×2＋7×22＋…＋(2n＋1)×2n－1],2Tn＝5[3×2＋5×22＋7×23＋…＋(2n＋1)×2n],两式相减得－Tn＝5[3＋2×2＋2×22＋…＋2×2n－1－(2n＋1)×2n]＝5[(1－2n)2n－1],则Tn＝5[(2n－1)2n＋1]. 8.(2016·武汉联考)设数列{an}的前n项和为Sn,a1＝10,an＋1＝9Sn＋10.(1)求证：{lgan}是等差数列；(2)设Tn是数列{}的
7、前n项和,求Tn；(3)求使Tn>(m2－5m)对所有的n∈N*恒成立的整数m的取值集合.解析：(1)证明：依题意,得a2＝9a1＋10＝100,故＝10.当n≥2时,an＋1＝9Sn＋10,an＝9Sn－1＋10,两式相减得an＋1－an＝9an,即an＋1＝10an,＝10,故{an}为等比数列,且an＝a1qn－1＝10n(n∈N*),所以lgan＝n.所以lgan＋1－lgan＝(n＋1)－n＝1,即{lgan}是等差数列.(2)由(1)知,Tn＝3[＋＋…＋]＝3(1－＋－＋…＋－)＝.(3)因为Tn＝＝
