第10讲 数列求和及数列应用

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1、第10讲数列求和及数列应用主干知识整合常用公式等差数列的前n项和，等比数列的前n项和，1＋2＋3＋…＋n＝，12＋22＋32＋…＋n2＝，13＋23＋…＋n3＝2.2．常用裂项方法(1)＝－；(2)＝；(3)＝；(4)＝；(5)＝＝－等．3．数学求和的基本方法公式法、分组法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法．4．数列的应用等差数列模型、等比数列模型、递推数列模型．要点热点探究探究点一　数列求和及其应用例1[2011·安徽卷]在数1和100之间插入n个实数，使得这n＋2个数构成递增的等比数列，将这

2、n＋2个数的乘积记作Tn，再令an＝lgTn，n≥1.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝tanan·tanan＋1，求数列{bn}的前n项和Sn.【分析】本题考查等比和等差数列，对数和指数的运算，两角差的正切公式等基本知识，考查灵活运用基本知识解决问题的能力，运算求解能力和创新思维能力．【解答】(1)设t1，t2，…，tn＋2构成等比数列，其中t1＝1，tn＋2＝100，则Tn＝t1·t2·…·tn＋1·tn＋2，①Tn＝tn＋2·tn＋1·…·t2·t1，②①×②并利用titn＋3－

3、i＝t1tn＋2＝102(1≤i≤n＋2)，得T＝(t1tn＋2)·(t2tn＋1)·…·(tn＋1t2)·(tn＋2t1)＝102(n＋2)．∴an＝lgTn＝n＋2，n≥1.(2)由题意和(1)中计算结果，知bn＝tan(n＋2)·tan(n＋3)，n≥1，另一方面，利用tan1＝tan[(k＋1)－k]＝，得tan(k＋1)·tank＝－1.所以Sn＝k＝an(k＋1)·tank＝＝－n.【点评】本题考查等比数列的性质、三角函数等知识．本题两问中的方法都是值得注意的，在第一问中采用的是倒序相

4、乘法，这类似数列求和中的倒序相加法；第二问采用的裂项相消法和两角差的正切公式结合在一起，这在近年来的高考试题中是不多见的，这与我们平时见到的裂项相消法有较大的不同，但基本思想是把不能使用公式直接求和的问题转化为可以逐项相消的问题，基本思想就是裂项．变式题在数列{an}中，a1＝1，并且对于任意n∈N*，都有an＋1＝.(1)证明数列为等差数列，并求{an}的通项公式；(2)设数列{anan＋1}的前n项和为Tn，求使得Tn>的最小正整数．【解答】(1)证明：＝1，因为an＋1＝，所以－＝2，所以数

5、列是首项为1，公差为2的等差数列，所以＝2n－1，从而an＝.(2)因为anan＋1＝＝，所以Tn＝a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝＝.由Tn＝>，得n>，所以使得Tn>的最小正整数n为91.探究点二　数列应用题的解法例2某个集团公司下属的甲、乙两个企业在2010年1月的产值都为a万元，甲企业每个月的产值比前一个月的产值增加的数值相等，乙企业每个月的产值比前一个月的产值增加的百分数相等，到2011年1月两个企业的产值又相等．(1)到2010年7月，试比较甲、乙两个企业的产值的大小，并说明理由

6、；(2)甲企业为了提高产能，决定用3.2万元买一台仪器．从2011年2月1日投放使用，从启用的第一天起连续使用，第n天的维修保养费为元(n∈N*)，求前n天这台仪器的日平均耗资(含仪器的购置费)，并求日平均耗资最小时使用了多少天？【分析】(1)甲企业的各个月份的产值组成等差数列，乙企业各个月份的产值组成等比数列，在这两个各有十三项的数列中其第一项和最后一项相等，比较的是中间项的大小，根据等差中项和等比中项的概念和基本不等式进行比较大小；(2)前n天的维修费用之和加上购买仪器的费用除以n即为日均耗费

7、，使用基本不等式求其最值以及取得最值时的n即可．【解答】(1)甲企业的产值比乙企业的产值要大．设从2010年1月到2011年1月甲企业每个月的产值分别是a1，a2，…，a13，乙企业每个月的产值分别记为b1，b2，…，b13.由题意{an}成等差数列，{bn}成等比数列．∴a7＝(a1＋a13)，b7＝.又a1＝b1，a13＝b13，∴a7＝>＝＝b7，即2010年7月甲企业的产值大．(2)设一共用了n天，则n天的平均耗资为P(n)，则P(n)＝＝＋＋，当且仅当＝时P(n)取得最小值，此时n＝80

8、0，故日平均耗资最小时使用了800天．【点评】本题考查等比数列模型、等差数列模型的实际应用，并与基本不等式进行交汇．数列在实际问题中有着极为广泛的应用，数列的应用问题在高考中虽然不是主流，但并不排除在高考中考查数列实际应用问题的可能，看下面的变式．变式题[2011·湖南卷]某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备M，M的价值在使用过程中逐年减少，从第2年到第6年，每年初M的价值比上年初减少10万元；从第7年开始，每年初M的价值为上年初的75%.(1)求第n年初M的价值an的表