第 5 讲 数列的综合应用.ppt

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1、第5讲数列的综合应用1．理解等差、等比数列的概念．2．掌握等差、等比数列的通项公式与前n项和公式．3．能在具体的问题情境中，识别数列的等差或等比关系，并能用有关知识解决相应的问题.不同点相同点等差数列强调每一项与前项的差；(2)a1和d可以为零；(3)等差中项唯一.(1)都强调每一项与前项的关系(2)结果都必须是同一个常数；；(3)数列都可由a1，d或a1，q确定.等比数列强调每一项与前项的比(2)a1与q均不为零；；(3)等比中项有两个值基础自查1．等比数列与等差数列比较表2．解答数列应用题的基本

2、步骤(1)审题——仔细阅读材料，认真理解题意．(2)建模——将已知条件翻译成数学(数列)语言，将实际问题转化成数学问题，弄清该数列的结构和特征．(3)求解——求出该问题的数学解．(4)还原——将所求结果还原到原实际问题中．3．数列应用题常见模型(1)等差模型：如果增加(或减少)的量是一个固定量时，该模型是等差模型，增加(或减少)的量就是公差．(2)等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数时，该模型是等比模型，这个固定的数就是公比．(3)分期付款模型：设贷款总额为a，年利率为r，等额还款数为

3、b，分n期还完，则b＝联动思考想一想：银行储蓄单利公式及复利公式是什么模型？答案：单利公式——设本金为a元，每期利率为r，存期为n，则本利和an＝a(1＋rn)，属于等差模型．复利公式——设本金为a元，每期利率为r，存期为n，则本利和an＝a(1＋r)n，属于等比模型．联动体验1．已知等差数列{an}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2的值为()A．－4B．－6C．－8D．－10解析：设数列{an}的公差为d.则a＝a1a4，即(a1＋2d)2＝a1(a1＋3d)解得a1＝－8，∴a2＝

4、－8＋2＝－6.答案：B2．设等差数列{an}的公差d不为0，a1＝9d.若ak是a1与a2k的等比中项，则k等于()A．2B．4C．6D．8解析：∵an＝a1＋(n－1)d＝(n＋8)d，且a＝a1a2k∴[(8＋k)d]2＝9d·(8＋2k)d，∴k＝4.答案：B答案：A4．(2010·广东卷)已知数列{an}为等比数列，Sn是它的前n项和．若a2·a3＝2a1，且a4与2a7的等差中项为，则S5＝()A．29B．31C．33D．35答案：B5．设{an}是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和

5、．若{Sn}是等差数列，则q＝______.解析：∵{Sn}是等差数列，∴2S2＝S1＋S3，即2(a1＋a2)＝a1＋(a1＋a2＋a3)亦即：a2＝a3，∴q＝＝1.答案：1考向一　等差数列与等比数列的综合应用【例1】等差数列{an}的各项均为正数，a1＝3，前n项和为Sn，{bn}为等比数列，b1＝1，且b2S2＝64，b3S3＝960.(1)求an与bn；反思感悟：善于总结，养成习惯对等差、等比数列的综合问题的分析，应重点分析等差、等比数列的通项及前n项和；分析等差、等比数列项之间的关系．往

6、往用到转化与化归的思想方法．迁移发散1．设{an}是公比大于1的等比数列，Sn为数列{an}的前n项和．已知S3＝7，且a1＋3,3a2，a3＋4构成等差数列．(1)求数列{an}的通项；(2)令bn＝lna3n＋1，n＝1,2，…，求数列{bn}的前n项和Tn.考向二　数列在实际问题中的应用【例2】在一次人才招聘会上，有A，B两家公司分别开出它们的工资标准：A公司许诺第一年月工资数为1500元，以后每年月工资比上一年月工资增加230元；B公司许诺第一年月工资数为2000元，以后每年月工资在上一年的

7、月工资基础上递增5%，设某人年初被A，B两家公司同时录取，试问：(1)若该人分别在A公司或B公司连续工作n年，则他在第n年的月工资收入分别是多少？(2)该人打算连续在一家公司工作10年，仅从工资收入总量较多作为应聘的标准(不计其他因素)，该人应该选择哪家公司，为什么？(3)在A公司工作比在B公司工作的月工资收入最多可以多多少元(精确到1元)？并说明理由．(参考数据log1.052.3＝17.1)解：(1)此人在A，B公司第n年的月工资数分别为：an＝1500＋230×(n－1)(n∈N*)bn＝20

8、00(1＋5%)n－1(n∈N*)．(2)若该人在A公司连续工作10年，则他的工资收入总量为12(a1＋a2＋…＋a10)＝304200(元)，若该人在B公司连续工作10年，则他的工资收入总量为12(b1＋b2＋…＋b10)≈301869(元)，因为在A公司收入的总量高些，因此该人应该选择A公司．(3)问题等价于求cn＝an－bn＝1270＋230n－2000×1.05n－1(n∈N*)的最大值．当n≥2时，cn－cn－1＝230－100×1.05n－2，当cn－cn