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1、1.3量词与逻辑联结词一、填空题1．命题“∃x∈R，x2＋1＜0”的否定是________．解析 存在性命题的否定是全称命题．答案 ∀x∈R，x2＋1≥02．命题“∀x>0，x2＋x>0”的否定是______________．解析全称命题的否定需要两步，第一步将全称量词改成存在量词，第二步将结论否定．答案∃x>0，x2＋x≤03．命题：∀x∈R，x2≥0的否定是________．解析 原命题是全称命题，它的否定是存在性命题．答案 ∃x∈R，x2＜04.命题“任意偶数是2的倍数”的否定是________．解析因为原命题是全称命题，它的否定是存在性命题
2、.由于命题“任意偶数是2的倍数”是全称命题，故其否定要改写成存在性命题．答案存在偶数不是2的倍数5．命题“∃x∈(1,2)时，满足不等式x2＋mx＋4≥0”是假命题，则m的取值范围________．解析 由题意，得不等式x2＋mx＋4＜0在(1,2)恒成立，于是由m＜－x－得m≤－1－4＝－5.答案 m≤－56．下列命题：①∃x∈R，lgx＝0；②∃x∈R，tanx＝1；③∀x∈R，x2＞0；④∀x∈R,2x＞0，其中真命题的序号是________．解析 ①取x＝1，得lgx＝lg1＝0，①正确．②取x＝，得tanx＝tan＝1，②正确．③取x＝0
3、，则x2＝0，③不正确．④由指数函数值域知④正确．答案 ①②④7．有四个关于三角函数的命题：①∃x∈R，sin2＋cos2＝；②∃x，y∈R，sin(x－y)＝sinx－siny；③∀x∈(0，π)，＝sinx；④sinx＝cosy⇒x＋y＝，其中假命题的序号为________．解析 ①中sin2＋cos2＝1；②中取y＝0，得sin(x－y)＝sinx－siny；③中，由于sinx＞0，所以＝＝sinx；④中sin＝cos，但＋＝π，故②③正确，①④不正确．答案 ①④8.命题“∀R,
4、x-2
5、+
6、x-4
7、>3”的否定是_______．解析全称命题
8、的否定是特称命题,全称量词”任何”改为存在量词”存在”,并把结论否定.答案∃R,
9、
10、+
11、
12、9．给出下列三个命题：①∀x∈R，x2＞0；②∃x∈R，使得x2≤x成立；③对立集合M，N，若x∈M∩N，则x∈M且x∈N.其中真命题的个数是________．解析 ①取x＝0，得x2＝0，①不正确；②取x＝，得②正确．③正确，故真命题的个数为2.答案 210．下列命题：①∃m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)是偶函数；②∃x∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)是奇函数；③∀m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)都是偶函数；④∀m∈R，使函
13、数f(x)＝x2＋mx(x∈R)都是奇函数，其中是真命题的序号是________．解析 当m＝0时，函数f(x)＝x2是偶函数．答案 ①11.下列4个命题中:①存在使不等式成立②不存在使不等式loglog成立③任意的使不等式log成立④任意的使不等式log成立其中的真命题是____．解析:由指数函数与的图象,知”存在使不等式成立”,故①正确;同样由与y=log的图象,知”任意的使不等式log成立”故③正确.答案①③12.给出如下四个命题：①若“p∧q”为假命题，则p、q均为假命题；②命题“若a＞b，则2a＞2b－1”的否命题为“若a≤b，则2a≤2
14、b－1”；③“∀x∈R，x2＋1≥1”的否定是“∃x∈R，x2＋1≤1”；④在△ABC中，“A＞B”是“sinA＞sinB”的充要条件．其中不正确的命题的序号是________．解析 ①p，q一真一假时，p∧q也为假命题，②正确，③否定应为“∃x∈R，x2＋1＜1”，④在△ABC中，A＞B⇔a＞b⇔sinA＞sinB．因此①③为假命题，②④为真命题．答案 ①③13．已知a＞0，函数f(x)＝ax2＋bx＋c，若x0满足关于x的方程2ax＋b＝0，则下列命题：①∃x∈R，f(x)≤f(x0)；②∃x∈R，f(x)≥f(x0)；③∀x∈R，f(x)≤f
15、(x0)；④∀x∈R，f(x)≥f(x0)，其中正确的序号是________．解析 由x0满足方程2ax＋b＝0，得x0＝－.因为a＞0，所以f(x0)＝f是二次函数f(x)的最小值，从而可判定④真命题，③是假命题，由存在x＝x0时，f(x)＝f(x0)，可判断①②是真命题．答案 ①②④二、解答题14.写出下列命题的否定,并判断其真假:(1)p:R,方程必有实根;(2)q:R,使得.解析(1)R,使方程无实数根;真命题.(2)R,使得;真命题.15．a，b，c为实数，且a＝b＋c＋1，证明：两个一元二次方程x2＋x＋b＝0，x2＋ax＋c＝0中至少
16、有一个方程有两个不相等的实数根．解析 假设两个方程都没有两个不等的实数根，则Δ1＝1－4b≤0，Δ2＝a2－4c≤0，∴Δ
