若干非局部和非线性问题的数值方法

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1、２０１８届研宄生博士学位论文：０２４１．８２学校代码０２６９分类号：１密级：５２１３０６０１０１７：学号＿蔡策呷总乂爹ＥａｓｔＣｈｉｎａＮｏｒｍａｌＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ博士学位论文ＤＯＣＴＯＲＡＬＤＩＳＳＥＲＴＡＴＩＯＮ论文题目：若干非局部和非线性问题的数值方法院系：数学科学学院专业：计算数学研究方向：偏微分方程数值解指导老师：羊丹平教授学位申请人：李政二零一八年五月？上海Ｄｉｓｓｅｒｔａｔｉｏｎｆｏｒｄｏｃｔｏｒｄｅｇｒｅｅｉｎ２０

2、１８ＳｔｕｄｅｎｔＩＤ：５２１３０６０１０１７Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｃｏｄｅ：１０２６９ｙＥａｓｔＣｈｉｎａＮｏｒｍａｌＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙＴｉｔｌｅ：ＮｕｍｅｒｉｃａｌＭｅｔｈｏｄｓｆｏｒＳｏｍｅＮｏｎｌｏｃａｌａｎｄＮｏｎｌｉｎｅａｒＰｒｏｂｌｅｍｓＤｅｐａｒｔｍｅｎｔ：ＳｃｈｏｏｌｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃａｌＳｃｉｅｎｃｅｓＭａｏｒ：ＣｏｍｐｕｔａｔｉｏｎａｌＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓｊＳｕｂｅｃｔ：ＮｕｍｅｒｉｃａｌＭｅｔｈｏｄｓｆｏｒＰＤＥｓｊ

3、Ｓｕｐｅｒｖｉｓｏｒ：Ｐｒｏｆ．ＤａｎｐｉｎｇＹａｎｇＣａｎｄｉｄａｔｅ：ＺｈｅｎｇＬｉＭａｙ２０１８？Ｓｈａｎｇｈａｉ华东师范大学学位论文原创性声明郑重声明：本人呈交的学位论文《若干非局部和非线性问题的数值方法》是，在华东师范大学攻读博士学位期间，在导师的指导下进行的研究工作及取得的研宄成果．除文中已经注明引用的内容外本论文不包含其他个人已经发表或撰写过，的研究成果．对本文的研究做出重要贡献的个人和集体均己在文中作了明确说明，并表不谢意．公作者签名：名日期：７〇这年Ｓ

4、月日华东师范大学学位论文著作权使用声明《若干非局部和非线性问题的数值方法》系本人在华东师范大学攻读学位期间在导师指导下完成的博士学位论文本论文的著作权归本人所有．本人同意华东，师范大学根据相关规定保留和使用此学位论文并向主管部门和学校指定的相关，机构送交学位论文的印刷版和电子版允许学位论文进入华东师范大学图书馆及；数据库被查阅、借阅同意学校将学位论文加入全国博士、硕士学位论文共建单；位数据库进行检索将学位论文的标题和摘要汇编出版采用影印、缩印或者其它，，方式合理复制学位论文．本学位论文属于请

5、勾选（）“”“”１．经华东师范大学相关部门审查核定的内部或涉密学位论文于（）年月日解密．：密后适用上述授权，Ｐ２．不保密上述授权．（ｖ〇，导师签名：本人答名：ｈ日期：＞０迟年Ｓ月日＊“涉密”学位论文应是已经华东师范大学学位评定委员会办公室或保密委员会审定过的学位论文需附获批的“”《华东师范大学研宄生申请学位论文涉密审批（表》方为有效未经上述部门审定的学位论文均为公开学位论文．此声明栏不填），．写的默认为公开学位论文，均适用上述授权），李政博士学位论文答辩委员会成员名单姓名

6、职称单位备注马和平教授上海大学主席陈文斌教授复旦大学陈果良教授华东师范大学王元明教授华东师范大学潘建瑜教授华东师范大学张向韵副教授华东师范大学秘书摘要随着科学和工程技术的发展越来越多的领域提出了对复杂问题高性能数值，计算的要求．比如对于机械工程、材料科学、航空航天和卫星遥感等在各种实际一条件下的形态以及行为做出更精确的模拟及进步的预测．对这些复杂系统做更精确的模拟则需要更复杂的如非局部和非线性的抽象模型比如不满足Ｆｉｃｋ定律，的反常扩散现象在自

7、然科学和社会科学中是大量存在的需要采用具有历史依赖，和非局部性质的分数阶微分算子来进行模拟．这些非局部和非线性复杂模型在数值求解时又往往会形成一个大规模且稠密的离散系统如何快速求解这样的大规，模问题或者降低问题的规模成为当前日益关注的问题．下面介绍本文的工作．第一部分、分数阶微分方程的相关模型及其数值方法与应用在自然现象中不混溶的液相、液相与气相、气相与固相、以及液相与固相，是普遍存在的．不混溶相的界面动力学在多相系统的形成与相变机制以及演化中起着非常重要的作用一但是在建模和数值求解计算上都是项非常

8、困难的任务．有，效描述多相系统的可计算数学模型的发展和相应的有效且高效的数值方法已经成一为多相系统研究中的主要挑战．另方面由于分数阶微积分具有的历史依赖与非，局部的特性比较适合诸如反常扩散中的记忆和非局部等性质因此分数阶方程比，整数阶方程更能有效的描述这些复杂