若干微分方程非局部边值问题的一种数值方法.pdf

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1、博博博士士士学学学位位位论论论文文文若干微分方程非局部边值问题的一种数值方法ANUMERICALMETHODOFSEVERALNONLOCALBOUNDARYVALUEPROBLEMSFORDIFFERENTIALEQUATION周周周永永永芳芳芳哈哈哈尔尔尔滨滨滨工工工业业业大大大学学学2011年年年6月月月国内图书分类号：O175.8学校代码：10213国际图书分类号：519.09密级：公开理理理学学学博博博士士士学学学位位位论论论文文文若干微分方程非局部边值问题的一种数值方法博士研究生：周永芳导师：崔明根教授

2、副导师：林迎珍教授申请学位：理学博士学科：基础数学所在单位：理学院答辩日期：2011年6月授予学位单位：哈尔滨工业大学ClassifiedIndex:O175.8U.D.C.:519.09DissertationfortheDoctoralDegreeinScienceANUMERICALMETHODOFSEVERALNONLOCALBOUNDARYVALUEPROBLEMSFORDIFFERENTIALEQUATIONCandidate:ZhouYongfangSupervisor:Prof.CuiMinggenA

3、ssociateSupervisor:Prof.LinYingzhenAcademicDegreeAppliedfor:DoctorofScienceSpecialty:FundamentalMathematicsAliation:DepartmentofMathematicsDateofDefence:June,2011Degree-Conferring-Institution:HarbinInstituteofTechnology摘要摘要非局部边值问题是微分方程中的重要内容，在科学研究和工程技术等领域有着广泛

4、的应用。在数值计算中，能否得到精度适当和可靠的数值解在很大程度上依赖于所用的数值方法，精确度高、稳定性强、收敛性好、计算量少的数值方法显得尤为重要。由于再生核在计算上具有良好的局部性质，再生核已成为函数逼近的重要工具，许多研究者也利用这个重要的工具在微分方程、积分方程、算子方程等的数值计算上做了非常有价值的工作。本论文主要研究微分方程非局部边值问题的再生核数值逼近方法。其优势在于，可以将微分方程的复杂非局部边值条件吸收到再生核空间中，消除了复杂非局部边值条件对方程求解的影响，从而利用再生核空间中再生核函数的良好性质

5、结合一定的计算技巧来求解微分方程非局部边值问题。本文的主要工作如下：创建带有复杂非局部边值条件的一元再生核空间、二元再生核空间，提出其中再生核函数的计算方法，得出再生核函数的具体表达式。这使得在再生核空间中求解复杂非局部边值问题成为可能，进一步丰富和拓展了再生核空间理论。提出求解非线性Dung方程非局部边值问题的再生核数值逼近方法。这种方法通过构造性的技巧证明方程解的存在性，给出求解方程近似解的迭代序列，使得方程的近似解及其导数一致收敛于精确解及其导数。并且，通过构造相应的再生核空间，将这种再生核数值求解方法推广

6、到弱奇异两点边值问题，微分方程（组）两点边值问题。数值实验表明这是一种非常有效且广泛适用的数值求解技术。针对偏微分方程非局部边值问题提出再生核数值逼近方法。给出线性抛物型非局部边值问题解的级数形式的精确表达式，通过截断级数形式的精确解获得方程的近似解，证明近似解的各阶偏导数收敛于精确解的各阶偏导数。针对非线性反应扩散方程非局部边值问题提出新的再生核数值求解技术，其核心思想是对方程的非线性项在再生核空间中搜索极小值，然后将极小值代入方程的近似解表达式中进行数值计算，此方法简单易行并且获得了良好的数值结果。通过改进传统

7、的再生核方法，提出求解带柯西核的奇异积分微分方程边值问题的再生核数值逼近方法。通过变换消除方程的奇异项，相比于传统的再生核方法，将有界线性算子相空间的要求减弱了，说明方法具有更广泛的适用性。–I–哈尔滨工业大学理学博士学位论文总之，再生核空间是进行数值计算的比较理想的空间。本文构造了吸收非局部边值条件的再生核空间，消除了复杂非局部边值条件对问题求解的影响，将再生核空间理论运用到微分方程非局部边值问题的数值求解上，数值模拟结果表明所提方法具有广泛的适用性和有效性。关键词：非线性微分方程；非局部边值问题；再生核数值逼近

8、；奇异积分微分方程–II–AbstractAbstractNonlocalboundaryvalueproblemsareimportantproblemindierentialequations,whichisappliedextensivelytoscientificresearchandengineeringfields.Consideringnu-mer