微分方程边值问题的数值方法

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1、微分方程边值问题的数值方法本部分内容只介绍二阶常微分方程两点边值问题的的打靶法和差分法。二阶常微分方程为(1.1)当关于为线性时，即，此时变成线性微分方程(1.2)对于方程或，其边界条件有以下3类：第一类边界条件为(1.3)当或者时称为齐次的，否则称为非齐次的。第二类边界条件为(1.4)当或者时称为齐次的，否则称为非齐次的。第三类边界条件为(1.5)其中，当或者称为齐次的，否则称为非齐次的。微分方程或者附加上第一类，第二类，第三类边界条件，分别称为第一，第二，第三边值问题。1打靶法介绍下面以非线性方程的第一类边值问题、为例讨论打靶法，其基本原理是将边值问题转化为

2、相应的初值问题求解。【原理】假定，这里为解在处的斜率，于是初值问题为(1.6)令，上述二阶方程转化为一阶方程组(1.7)原问题转化为求合适的，使上述初值问题的解在的值满足右端边界条件(1.8)这样初值问题的解就是边值问题、的解。而对给定的，求的初值问题可以用欧拉方法、龙格-库塔方法等初值问题的数值解法求解。理论上是隐含的连续函数，如果已知，要使得成立，可以通过求非线性方程的零点来得到合适的，这可用任何方程求根的方法，例如牛顿法、或者其它迭代法。实际上，是很难找到的，因此必须寻找满意的离散解数值解。下面叙述打靶法的计算过程：（这里为允许误差，的修改使用线性插值方法

3、）Step1：先设，求解初值问题，得到；若，则为问题的满意的离散解，结束；Step2：若时，令，求解初值问题，得到；若，则为问题的满意的离散解，结束；否则转Step3；Step3：由线性插值得到一般计算公式(1.9)Step4：令，求解初值问题，得到；若，则为问题的满意的离散解，结束；否则转Step3。这个过程好比打靶，为子弹发射率，为靶心，当时则得到解，故称打靶法。【例1】用打靶法求解非线性两点边值问题要求误差。精确解为。【解】：首先将原问题化成初值问题对每个，使用4阶RK方法求解上述问题，即利用公式其中，计算，取步长为h=0.02。Step1选择，求得，；S

4、tep2选择，求得，；Step3根据以及和，利用公式，计算得到Step4对，利用RK方法求解，计算得到，，转Step3。重复Step3和Step4，可求得；，满足要求，此时解即为所求。对于第二类、第三类边值问题也可以作类似处理。例如，对第二类边值问题，它可以转化为以下边值问题解此初值问题得到及，若，则为边值问题的解。2差分方法介绍差分方法是解边值问题的一种基本方法，它利用差商代替导数，将微分方程离散化为非线性或线性方程组（即差分方程）求解。下面考虑边值问题(2.1)将[a,b]作N+1等分，分点为，若在[a,b]内点用差商近似导数，由忽略余项，并令，则离散化得到

5、差分方程(2.2)利用差分方程逼近边值问题，其截断误差阶为，为了得到更精确的逼近可利用泰勒展开。设中的微分方程改用以下差分格式逼近，即(2.3)其中为待定参数，记在处按泰勒公式展开到，按幂次整理得若令，解得且(2.4)将以上结果代入，则得到的差分方程(2.5)它的截断误差由得到，逼近阶为。无论用哪种方法建立差分方程都要讨论差分方程的可解性及解法，并且证明差分方程解当时。下面以差分方程为例讨论它的可解性及解法。将改写成下面的形式(2.6)其中，，，当关于非线性，则非线性，故是一个非线性方程组。它可以利用牛顿法或者其它迭代法求解，并有如下结论：【定理1】对于边值问题

6、，设在域中连续，且在D中，则非线性方程组存在唯一解，可用牛顿迭代法(2.7)求解，并有。在上述定理的条件下，还可以得到差分方程解的收敛性，即。对于边值问题、，可以类似地得到相应的差分方程(2.8)并有如下结论：【定理2】对于第一类边值问题、中，函数在域中连续且在D中，则边值问题、有唯一解，在要求，则有唯一解。解非线性方程组仍可用牛顿法。下面再考查线性边值问题、，类似可以得到线性差分方程(2.9)其中，重新改写得到将第2式代入第1式并写成矩阵形式，得线性方程组(2.10)其中，。该方程组为一个三对角的线性方程组，可用追赶法求解。对第二类、第三类边值问题，可以类似地

7、将相应的边界条件及离散化，分别得到它们的差分近似(2.11)以及(2.12)将它们分别代替中的边界条件，则可得相应的关于的N+2个方程的线性方程组。【定理3】设在[a,b]上，，则当时，方程组存在唯一解。【定理4】设在[a，b]上，边值问题、的解为，。的解为，则。定理说明，若固定，当时差分方程的解收敛到微分方程边值问题的解。【例2】用差分法求解线性边值问题注：该问题的精确解为【解】：若取，这里，可按列出三对角的线性差分，然后用追赶法求解。资料来源：数值计算原理，李庆扬，清华大学出版社,2003