若干非线性问题的研究

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1、Y960385分类号：．Q!12。21。论文编号：2哑Q12Q!密级：公珏贵州大。。学2006届硕士研究生学位论文若干非线性问题韵研究学科专业：基型塑堂研究方向：韭缝!睦坌圭丘与盟篡迨导师：自邀童教授h。7研。究，．．eF．星空驭‘J。∥‘，<。。一：三：．．／。?j。、。。j、、：?。：：=『．～H。一。，∥。’j?j中国．L，．-贵井r+-贵阳。2006鼬月摘要在第一章中，讨论了Caristi不动点定理与Banach压缩映射原理的等价性．已有的研究结果表明，Caristi不动点定理与著名的Ekeland变分原理等价，同时，它们都等价于空间的完备性，另外，在一定条件下，Ba

2、nach压缩映射原理与空间的完备性也是等价的，因此本文将考虑Caristi不动点定理与Banach压缩映射原理的等价性．由定理的条件不难推出，Banach压缩映射一定是满足Caristi不动点定理的映射，但反之显然是不一定成立的，因此，值得研究的问题是，满足Caristi不动点定理条件的映射在什么条件下构成Banach压缩映射．本章证明了，在～定条件下，存在某一等价度量d+，使得满足Caristi不动点定理条件的映射F关于d4是Banach压缩映射，因此，Caristi不动点定理在一定条件下与Banach压缩映射原理等价．在第二章中，讨论了与Ekeland变分原理相关的一些问

3、题．鉴于Ekeland变分原理的重要性，因此讨论它的稳定性是非常必要的．Ekeland变分原理的稳定性是由Attouch和Riahi建立的，这些结论是建立在集合收敛的概念的基础上的：，即Painleve—Kuratowski收敛；Mosco收敛；有界Hausdorff收敛以及更进一步的图收敛(当考虑集合是函数的图时)．在本文中，我们将用这些方法讨论在完备的度量空间中，与Ekeland变分原理相关问题的稳定性．在某种紧性条件或自反Banach空间下，作者证明了￡．解是下半连续的，而我们可以给出一个例子说明：在Ekeland变分原理中，Banach空间下，按照一致度量，s一解并不

4、总是下半连续的，并证明了￡一解在一般的度量空间下是几乎下半连续的．另外，史树中证明了Caristi不动点定理与Ekeland变分原理是等价的，并且由证明过程可以知道Ekeland变分原理中的￡．极值点包含在Caristi不动点定理中对应映射的不动点集中，鉴于前面分析的Ekeland变分原理中集值映射s-解的性质，因此在前面的基础上，也讨论了Caristi不动点定理中不动点集的稳定性质．另外一个问题是讨论Ekeland变分原理的推广．我们知道Ekeland变分原理中的映射是一个广义实值泛函，但在实际中所考虑的问题往往是多方面的，即是2向量值的，因此另外一个值得考虑的问题是：能否

5、将Ekeland变分原理中的泛函F推广为向量值函数．于是本文就考虑这个问题，试着将Ekeland变分原理中的泛函F推广为向量值映射．在第三章中，讨论了集值映射向量优化问题解的连续性质．向量优化理论已被广泛的应用到了许多领域，国内外对向量优化问题的研究也有许多的成果，这些成果主要是研究向量值函数最优解的存在性与稳定性，其中包括有效解，弱有效解以及加权解的单值映射向量优化问题解的存在性与稳定性，因此本文就考虑了集值映射向量优化问题解的连续性质．在第四章中，讨论了变分不等式解的存在性，我们知道变分不等式的解不一定唯一，那么变分不等式的解集是否稳定?即当构成变分不等式的映射发生微小变

6、化时，其解集是否也产生微小变化?有例子表明这个结论是否定的，已有的文献中讨论了拟变分不等式解集的本质连通区的存在问题和极小本质集的存在问题．我们也知道，研究解集的本质集和本质连通区，很大程度上是处于在多解情形时对解集进行选择和精炼．为进一步有效地选择和精炼有关的解集，Xiang提出了一些具有进一步精炼与选择意义的本质点和本质集的概念，即强本质点和强本质集的概念．因此本文就从精炼与选择的意义下，进～步讨论了拟变分不等式解集的极小强本质集和本质连通区的存在问题，证明了每个拟变分不等式f满足一定条件)的解集至少存在一个极小强本质集，并且还证明了每一个极小强本质集是连通的．关键词：C

7、aristi不动点定理，Banach压缩映射原理，等价性，Ekeland变分原理，稳定性，向量集值映射，弱有效解，拟变分不等式，强本质集，极小强本质集，本质连通区．中图分类号：0177．91ABSTRACTInchapter1，wehavediscussedtheequivalencepropertyofCaristifixedpointtheoremandBanachcotitractingmappingprinciple．WeknowCaristifixedpointtheoremandEkelan