一元函数极值的存在性判定定理及其应用

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1、一元函数极值的存在性判定定理及其应用摘要:本文主要论述了一元函数极值的存在性判定定理等问题，首先给出了一元函数极值的定义及其必要条件，充分条件；其次讨论了极值与最值，极值点与拐点的关系；最后给出了一元函数极值的应用；除此，本文还对第二充分条件进行了补充，并介绍了在实际应用中如何选择第一、第二充分条件．关键词：一元函数；极值；最值引言一元函数极值的存在性判定定理是数学分析中的重要内容，它为求解多元函数的极值做了铺垫，也是求解最值的基础．在科研和实际问题中一元函数极值的判定定理也有广泛的应用；如不等式

2、的证明、根的存在性、生活中的应用（利润最大化、用料最少、效益最高）等问题，而一元函数极值的判定定理就是研究这些问题的基础，虽然教材上对一元函数极值的存在性判定定理做了介绍，但还是远远不够，还需要更加深入的去探讨一元函数极值的存在性判定定理．目前有很多研究一元函数极值存在性判定定理的文章，他们对一元函数极值的判定定理有所论述，并不断进行了完善，但是仍有不足之处．比如文献[1]仅仅对一元函数极值的定义给与了笼统的介绍，以至于对一元函数的极值不能有细致的了解；文献[2]仅对一元函数极值的第一充分条件进行

3、了理论研究，但没有给出具体的实例说明；文献[4]仅指出了第二充分条件的不足之处，却没有进一步的补充和说明．总之，它们都不能对一元函数极值的存在性判定定理进行较全面的总结和归纳．在前人的基础上，又查阅了相关的文献，并对其中的一些定理及内容进行了补充和总结，比如本文在介绍了第一充分条件和第二充分条件定理的基础上，又分别给出了它们的解题方法，且对二者如何选择进行了比较，以便更好地解决问题；比如本文给出了在某个区间上极值与最值的关系后．又进行了相关的理论研究，并且对于一元函数极值的应用（不等式证明、判断方

4、程的根、在数列中的应用、在生活中的应用）也给与了总结，因此研究一元函数极值的判定定理具有一定的理论意义和实践意义．1．一元函数极值的存在性判定定理1．1一元函数极值的定义1定义11设函数fx在x的一个邻域内有定义，若对于该邻域内异于x00的x恒有:f(x)>fx，则称函数fx在点x取得极大值，称点x为fx的000极大值点；fx

5、一个区间中极小值有可能比极大值大．注2一般在一元函数极值点的定义中不会牵涉到一元函数极值的连续、可微、可积等性质．注3函数在一个区间中的极值点并不唯一，可以有无数个．1例1函数fx=xsin，x0,12n．则xn0,1,2,3,...都是x2n1fx的极值点，当n为偶数时x为极大值点，当n为奇数时x为极小值点．nn1．2一元函数极值的必要条件定理110设函数fx在点x的某邻域内有定义，且在点x可导．若点x为0000fx的极值点，则必有fx0．这是可导函数极值的必要条件．0注4fx0的点并不一

6、定是极值点。例2函数fxx3，f00，但是当x小于零时，fx0，当x大于零时，fx0，而f00，所以x0不是它的极值点。极值反映函数的局部性质，由极值的必要条件可知，若画出函数的图像，则极大值对应着函数图像的峰值，而极小值则对应着函数图像的谷值，并且在函数图像取得极值点处，曲线上的切线是水平的，而在某处曲线具有水平切线上，函数并不一定取得极值．使导数为零的点叫做函数的稳定点，可导的极值点一定是稳定点，但是稳定点不一定是极值点，函数可能的极值点包括：稳定点和不可导点．1．3一元函数极值的第

7、一充分条件定理22设函数fx在点x的一个邻域内连续，且在此邻域内（x可以00除外）可导，那么(1)若当xx时，fx0；当xx时，fx0，则fx在x处取得0002极大值．(2)若当xx时，fx0；当xx时，fx0，则fx在x处取得000极小值．由此可知如果fx在x处可导且fx0,但fx在x的两侧同号，则x00000不是fx的极值点，fx在x处不取得极值．第一充分条件求极值的方法:(1)求函数fx的定义域．(2)求出fx的表达式．(3)求出fx的全部驻点（即求出方程fx=0在所讨论的区间内的全部实根）

8、和fx不存在的点．(4)考察fx在每个驻点及不可导点的左右邻近的符号，根据第一充分条件确定这些点是否是极值点，如果是极值点进一步判断是极大值点还是极小值点．(5)把极值点代入fx求出极值．3例3求函数fx=4x1的极值．解(1)fx的定义域是,．32(2)fx=4x1=12x1．0(3)令fx=0，得驻点x=1．(4)判断所有驻点和导数不存在的点的两侧fx的符号．而在此题中只需要判断在点x=1两侧邻域上的符号即可，在点x=1的左侧邻域上有fx0，在0000点x=1的右侧邻域上，也有