导数的极值及其应用

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1、导数的极值、最值及其应用备考要求：理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号)；会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值一、知识梳理：1、判别f(x0)是极大、极小值的方法:若满足，且在的两侧的导数异号，则是的极值点，是极值，并且如果在两侧满足“左正右负”，则是的________，是_______；如果在两侧满足“左负右正”，则是的________，是________2、求函数f(x)的极值的步骤:(1)确定函数的定义区间，求导数f′(x)(2)求方程f′(x)=0的根(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义

2、区间分成若干小开区间，并列成表格。检查f′(x)在方程根左右的值的符号，如果________，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果_______，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f(x)在这个根处无极值[来源:学科网]3、利用导数求函数的最值步骤:⑴求在内的极值；⑵将的各极值与、比较得出函数在上的最值二、题型探究：题型一求函数的极值求列函数的极值：（1）；（2）题型二求函数的极值点例2、设为自然对数的底，a为常数且），取极小值时，求x的值题型三函数的单调性及其应用例3.设函数f（x）=－ax，其中a＞0，求a的范围，使函数f（x）在区间［0，

3、+∞）上是单调函数题型四分类讨论的思想在极值中的应用例4.已知函数f（x）=ax3+bx2－3x在x=±1处取得极值（1）讨论f（1）和f（－1）是函数f（x）的极大值还是极小值；（2）过点A（0，16）作曲线y=f（x）的切线，求此切线方程题型五优化问题例5.用总长148m的钢条制作一个长方体容器的框架如果所制作容器的底面的一边比另一边长05m，那么高为多少时容器的容积最大?并求出它的最大容积例6.已知抛物线y=－x2+2，过其上一点P引抛物线的切线l，使l与两坐标轴在第一象限围成的三角形的面积最小，求l的方程三、课后作业：1、函数已知时取得极值，则=()A．2B．3C．4D．52

4、、函数有极值的充要条件是（）A．B．C．D．3、函数（的最大值是（）A．B．-1C．0D．14、已知函数在处有极值，那么；5、已知函数在R上有两个极值点，则实数的取值范围是6、已知函数既有极大值又有极小值，则实数的取值范围是7、已知函数（1）当时，求函数极小值；（2）试讨论曲线与轴公共点的个数。8、已知两个函数，.（Ⅰ）若对任意[－3，3]，都有≤成立，求实数的取值范围；（Ⅱ）若对任意[－3，3]，[－3，3]，都有≤成立，求实数的取值范围9、设函数．（Ⅰ）求的最小值；（Ⅱ）若对恒成立，求实数的取值范围．10．用长为18cm的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2：

5、1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？11．某市旅游部门开发一种旅游纪念品，每件产品的成本是15元，销售价是20元，月平均销售a件.通过改进工艺，产品的成本不变，质量和技术含金量提高，市场分析的结果表明，如果产品的销售价提高的百分率为，那么月平均销售量减少的百分率为x2.记改进工艺后，旅游部门销售该纪念品的月平均利润是y（元）.（1）写出y与x的函数关系式;（2）改进工艺后，试确定该纪念品的销售价，使得旅游部门销售该纪念品的月平均利润最大.