导数及其应用(单调性极值与最值

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1、补讲：导数及其应用（单调性、极值与最值）一．选择题：(1)已知函数在区间内可导，且，则()(A)(B)(C)(D)(2)函数在区间()(A)上单调递减(B)上单调递减(C)上单调递减(D)上单调递增(3)函数在上的最大值和最小值依次是()(A)(B)(C)(D)(4)已知函数有极大值和极小值，则实数的取值范围是()(A)(B)(C)或(D)或(5)设点是曲线上的任意一点，点处切线倾斜角为，则角的取值范围是()(A)(B)(C)(D)(6)方程的实根个数是()(A)(B)(C)(D)二．填空题：(7)函数在处有极大值，则实数(8)已知曲线

2、，直线，若与相切于点，则切点坐标是(9)函数在区间上单调递增，且关于的方程的根都在区间内，则实数的取值范围是(10)已知在上有最小值，则在上，的最大值是三．解答题：(11)函数的极大值为6，极小值为2，求实数的值.3-5(12)已知函数.①求函数的单调区间；②若，证明：.(13)(全国卷Ⅱ)设a为实数,函数(Ⅰ)求的极值.(Ⅱ)当a在什么范围内取值时,曲线轴仅有一个交点.14(全国卷III)用长为90cm,宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器,先在四角分别截去一个小正方形,然后把四边翻转90°角,再焊接而成(如图),问该容器的高为多

3、少时,容器的容积最大?最大容积是多少?(15)设是函数的两个极值点，且.①证明：②证明：③若函数，证明：当且时，.16.（山东卷）已知是函数的一个极值点，其中，（I）求与的关系式；（II）求的单调区间；（III）当时，函数的图象上任意一点的切线斜率恒大于3，求的取值范围.3-5(全国卷Ⅱ)设a为实数,函数(Ⅰ)求的极值.(Ⅱ)当a在什么范围内取值时,曲线轴仅有一个交点.解：(I)=3－2－1若=0，则==－，=1当变化时，，变化情况如下表：(－∞，－)－(－，1)1(1，+∞)+0－0+极大值极小值∴的极大值是，极小值是(II)函数由此

4、可知，取足够大的正数时，有>0，取足够小的负数时有<0，所以曲线=与轴至少有一个交点结合的单调性可知：当的极大值<0，即时，它的极小值也小于0，因此曲线=与轴仅有一个交点，它在(1，+∞)上。当的极小值－1>0即(1，+∞)时，它的极大值也大于0，因此曲线=与轴仅有一个交点，它在(－∞，－)上。∴当∪(1，+∞)时，曲线=与轴仅有一个交点。即的取值范围是(全国卷III)用长为90cm,宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器,先在四角分别截去一个小正方形,然后把四边翻转90°角,再焊接而成(如图),问该容器的高为多少时,容器的容积最大?

5、最大容积是多少?解：设容器的高为x，容器的体积为V，1分则V=（90-2x）（48-2x）x,(0

6、调递减.（III）由已知得，即又所以即①设，其函数开口向上，由题意知①式恒成立，所以解之得又所以即的取值范围为3-5第五讲答案：一．选择题：二．填空题：(7)(8)(9)(10)三．解答题：(11),.(14)解：①＝ax2＋bx－a2，∵x1，x2是f(x)的两个极值点，∴x1，x2是方程＝0的两个实数根．1分∵a＞0，∴x1x2＝－a＜0，x1＋x2＝－．2分∴

7、x1

8、＋

9、x2

10、＝

11、x1－x2

12、＝．3分∵

13、x1

14、＋

15、x2

16、＝2，∴＋4a＝4，即b2＝4a2－4a3．4分∵b2≥0，0＜a≤1．5分②设g(a)＝4a2－4a3，则g'

17、(a)＝8a－12a2＝4a(2－3a)．6分由g'(a)＞0及Û0＜a＜，g'(a)＜0Û＜a≤1，7分得g(a)在区间（0，）上是增函数，在区间（，1]上是减函数，∴g(a)max＝g()＝．8分∴

18、b

19、≤．9分③∵x1，x2是方程f'(x)＝0的两个实数根，∴f'(x)＝a(x－x1)(x－x2)．10分∴h(x)＝a(x－x1)(x－x2)－2a(x－x1)＝a(x－x1)(x－x2－2)，∴

20、h(x)

21、＝a

22、x－x1

23、

24、x－x2－2

25、≤a()2．12分∵x＞x1，∴

26、x－x1

27、＝x－x1．又x1＜0，x1x2＜0，∴x2＞0．

28、∴x2＋2＞2．∵x＜2，∴x－x2－2＜0．∴

29、x－x2－2

30、＝x2＋2－x．∴

31、x－x1

32、＋

33、x－x2－2

34、＝x2－x1＋2＝＝4．∴

35、h(x)

36、≤4a．14分3-5