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时间:2018-12-22
《导数及其应用(单调性极值与最值》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在应用文档-天天文库。
1、补讲:导数及其应用(单调性、极值与最值)一.选择题:(1)已知函数在区间内可导,且,则()(A)(B)(C)(D)(2)函数在区间()(A)上单调递减(B)上单调递减(C)上单调递减(D)上单调递增(3)函数在上的最大值和最小值依次是()(A)(B)(C)(D)(4)已知函数有极大值和极小值,则实数的取值范围是()(A)(B)(C)或(D)或(5)设点是曲线上的任意一点,点处切线倾斜角为,则角的取值范围是()(A)(B)(C)(D)(6)方程的实根个数是()(A)(B)(C)(D)二.填空题:(7)函数在处有极大值,则实数(8)已知曲线
2、,直线,若与相切于点,则切点坐标是(9)函数在区间上单调递增,且关于的方程的根都在区间内,则实数的取值范围是(10)已知在上有最小值,则在上,的最大值是三.解答题:(11)函数的极大值为6,极小值为2,求实数的值.3-5(12)已知函数.①求函数的单调区间;②若,证明:.(13)(全国卷Ⅱ)设a为实数,函数(Ⅰ)求的极值.(Ⅱ)当a在什么范围内取值时,曲线轴仅有一个交点.14(全国卷III)用长为90cm,宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器,先在四角分别截去一个小正方形,然后把四边翻转90°角,再焊接而成(如图),问该容器的高为多
3、少时,容器的容积最大?最大容积是多少?(15)设是函数的两个极值点,且.①证明:②证明:③若函数,证明:当且时,.16.(山东卷)已知是函数的一个极值点,其中,(I)求与的关系式;(II)求的单调区间;(III)当时,函数的图象上任意一点的切线斜率恒大于3,求的取值范围.3-5(全国卷Ⅱ)设a为实数,函数(Ⅰ)求的极值.(Ⅱ)当a在什么范围内取值时,曲线轴仅有一个交点.解:(I)=3-2-1若=0,则==-,=1当变化时,,变化情况如下表:(-∞,-)-(-,1)1(1,+∞)+0-0+极大值极小值∴的极大值是,极小值是(II)函数由此
4、可知,取足够大的正数时,有>0,取足够小的负数时有<0,所以曲线=与轴至少有一个交点结合的单调性可知:当的极大值<0,即时,它的极小值也小于0,因此曲线=与轴仅有一个交点,它在(1,+∞)上。当的极小值-1>0即(1,+∞)时,它的极大值也大于0,因此曲线=与轴仅有一个交点,它在(-∞,-)上。∴当∪(1,+∞)时,曲线=与轴仅有一个交点。即的取值范围是(全国卷III)用长为90cm,宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器,先在四角分别截去一个小正方形,然后把四边翻转90°角,再焊接而成(如图),问该容器的高为多少时,容器的容积最大?
5、最大容积是多少?解:设容器的高为x,容器的体积为V,1分则V=(90-2x)(48-2x)x,(06、调递减.(III)由已知得,即又所以即①设,其函数开口向上,由题意知①式恒成立,所以解之得又所以即的取值范围为3-5第五讲答案:一.选择题:二.填空题:(7)(8)(9)(10)三.解答题:(11),.(14)解:①=ax2+bx-a2,∵x1,x2是f(x)的两个极值点,∴x1,x2是方程=0的两个实数根.1分∵a>0,∴x1x2=-a<0,x1+x2=-.2分∴7、x18、+9、x210、=11、x1-x212、=.3分∵13、x114、+15、x216、=2,∴+4a=4,即b2=4a2-4a3.4分∵b2≥0,0<a≤1.5分②设g(a)=4a2-4a3,则g'17、(a)=8a-12a2=4a(2-3a).6分由g'(a)>0及Û0<a<,g'(a)<0Û<a≤1,7分得g(a)在区间(0,)上是增函数,在区间(,1]上是减函数,∴g(a)max=g()=.8分∴18、b19、≤.9分③∵x1,x2是方程f'(x)=0的两个实数根,∴f'(x)=a(x-x1)(x-x2).10分∴h(x)=a(x-x1)(x-x2)-2a(x-x1)=a(x-x1)(x-x2-2),∴20、h(x)21、=a22、x-x123、24、x-x2-225、≤a()2.12分∵x>x1,∴26、x-x127、=x-x1.又x1<0,x1x2<0,∴x2>0.28、∴x2+2>2.∵x<2,∴x-x2-2<0.∴29、x-x2-230、=x2+2-x.∴31、x-x132、+33、x-x2-234、=x2-x1+2==4.∴35、h(x)36、≤4a.14分3-5
6、调递减.(III)由已知得,即又所以即①设,其函数开口向上,由题意知①式恒成立,所以解之得又所以即的取值范围为3-5第五讲答案:一.选择题:二.填空题:(7)(8)(9)(10)三.解答题:(11),.(14)解:①=ax2+bx-a2,∵x1,x2是f(x)的两个极值点,∴x1,x2是方程=0的两个实数根.1分∵a>0,∴x1x2=-a<0,x1+x2=-.2分∴
7、x1
8、+
9、x2
10、=
11、x1-x2
12、=.3分∵
13、x1
14、+
15、x2
16、=2,∴+4a=4,即b2=4a2-4a3.4分∵b2≥0,0<a≤1.5分②设g(a)=4a2-4a3,则g'
17、(a)=8a-12a2=4a(2-3a).6分由g'(a)>0及Û0<a<,g'(a)<0Û<a≤1,7分得g(a)在区间(0,)上是增函数,在区间(,1]上是减函数,∴g(a)max=g()=.8分∴
18、b
19、≤.9分③∵x1,x2是方程f'(x)=0的两个实数根,∴f'(x)=a(x-x1)(x-x2).10分∴h(x)=a(x-x1)(x-x2)-2a(x-x1)=a(x-x1)(x-x2-2),∴
20、h(x)
21、=a
22、x-x1
23、
24、x-x2-2
25、≤a()2.12分∵x>x1,∴
26、x-x1
27、=x-x1.又x1<0,x1x2<0,∴x2>0.
28、∴x2+2>2.∵x<2,∴x-x2-2<0.∴
29、x-x2-2
30、=x2+2-x.∴
31、x-x1
32、+
33、x-x2-2
34、=x2-x1+2==4.∴
35、h(x)
36、≤4a.14分3-5
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