微分中值定理的应用：函数的单调性、凸凹性、极值

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3、内可导则（1）当时，严格单调增加（2）当时，严格单调减少注（1）定理区间可以其它形式的区间例：，条件为在区间上连续，在除端点外导数符号不变。（2）当时，单调增加当时，单调减少(二)应用举例1确定单调区间：在定义域内找出驻点（导数为零的点）和不可导点来把定义域分割成小区间，在每个小区间讨论导数的符号来确定单调性。例1求函数的单调区间（1）提示：，则驻点为，不可导点为，（2）（若驻点两边符号相同则单调区间可以合并）（3）（注能否说函数在单调降）练习求函数的单调区间（1）（2）例2求函数的单调区间提示法一，令，则，故在是减的，又，故在函数法二；讨论函数

4、例3设在上，则，的大小顺序2证明不等式（1）（若不等式两边能变得一样形式，根据这一形式构造函数，通常不等式含两个参数）例1（1）证明时（2）时（2）（若不等式两边不能变得一样形式，通常不等式仅含一个参数而为，这时可构造函数，证明且即可）例1时练习（1）当时（2）（3）时例2（求两次导）练习（1）时（2）例3提示：令，得，又（3）（若则是单减（增）的例：设函数在时二阶可微，且，，证明对任意的正数提示；由得在是单减的。在用中值定理：在用中值定理：，则得3证明方程有唯一实根（先用连续函数零点存在定理证明根的存在性，证明函数单调性来证明根的唯一性）例1证

5、明在只有唯一实根。练习证明方程有唯一实根提示令，练习在上连续可导，，。证明在只有一个实根。例2证明只有一个正根提示，，是驻点练习证明方程在有唯一实根例3方程仅有两个实根提示则例3讨论方程的实根的个数提示令二函数的凸凹性（一）理论1：定义1：设在区间上连续，若对任上任意两点，恒有那么称在区间的图形是凸的。若对任上任意两点，恒有那么称在区间的图形是凹的。注（1）在区间的图形是凸的几何意义为：在这段弧任取两点，则连接这两点间的弦总位于这两点间的弧段的下方；在区间的图形是凹的几何意义为：在这段弧任取两点，则连接这两点间的弦总位于这两点间的弧段的上方；（2

6、）在区间的图形是凸的[]等价于在区间的图形是凹的[]等价于（请证明）定义2：若一点两边的凸凹性不一致，称该点为拐点。2凸凹性的判定定理定理：设在区间可微的且在区间单减的（单增的），则在区间的图形是凸的（凹的）推论：若在区间有在区间则在区间的图形是凸的若在区间有在区间则在区间的图形是凹的（我们更多的应用该定理）故若一点它两边的二阶导数的符号改变则它是拐点。（二）举例1找出凸凹区间及拐点例1判断下列曲线的凸凹性（找出定义域，求出二阶导数，找出二阶导数的符号区间）（1）（2）提示（1）对定义域为，（2）对定义域为，例2求曲线的凹凸区间及拐点例3证明有三

7、个拐点位于同一直线上。例4求使为函数的驻点，且使曲线过，并有拐点例5设有二阶连续导数，且，，则（A）是的极大值，（B）是的极大值（C）是的拐点（D）不是的极值，也不是的拐点2证明不等式例（1）证明当，，有（2）证明当有三函数的极值与最值（一）函数的极值与最值定义1：设函数在的某个邻域满足对任意的有（），则称为函数的极小值点（极大值点），统称极值点是极小值（极大值），统称极值注：极值是局部的最值但不一定是最值。2函数的极值与最值判定方法（1）函数的极值的判定定理1：（必要条件）（费马定理）设函数在可微，且为极值点，则注（1）不一定是极值点。例在处不

8、是极值点但（2）称导数为零的点为驻点，由定理可知极值点只会在驻点和不可导产生。定理2：若函数满足（1）时，时，则是极小值点（2）时，时，