二元函数极值存在定理证法的改进

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1、二元函数极值存在定理证法的改进：二元函数极值存在定理的证明是多元函数的导数在研究函数上的具体应用，而变量的多元性使证明变得比较复杂，笔者在教学过程中总结出了两种比较简单的证明方法，供师生在教学和学习过程中参考。　　关键词：二元函数极值；证明；方法；简化　　　　：G633.6：B：1672-1578（2012）03-0253-01　　　　定理，若函数f(x,y)在点P(a,b)的邻域G内所有二阶偏导数连续，且P(a,b)是函数f(x,y)的稳定点。设A=fx2(a,b),B=fxy(a,b),G=fy2(a,b),Δ=B2-ACI当Δ0（或C>0时函数f(x,y)在

2、点P(a,b)取极小值，而当A0时，函数f(x,y)在点P(a,b)不取极值。　　证法一要确定f(x,y)在点P(a,b)有无极值，就是要考查f(x,y)-f(a,b)在邻域G内的符号，按照泰勒公式展开到第二项为止，由于P(a,b)是函数f(x,y)的稳定点，故第一项消失，我们得到f(x,y)-f(a,b)=1[A(x-a2)+2B(x-a)(y-b)+(y-b)2]+ο(ρ)2而且余项是比ρ=Δx2-Δy2更高阶的无穷小，所以f(x,y)-f(a,b)的符号与D=A(x-a2)+2B(x-a)(y-b)+(y-b)2的符号相同，设x-a=h,y-b=k，则D=A

3、h2+2Bhk+Ck2.　　I.若Δ=B2-AC0时(h看作变量)无论k取何值，二次函数D=Ah2+2Bhk+Ck2有最小值D最小值=k2(AC-B2)A≥0，即f(x,y)-f(a,b)≥0，故f(x,y)在点p(a,b)的邻域G内取极小值。同理C>0时,f(x,y)在点p(a,b)取极小值。　　(2)当A0，则函数f(x,y)在点f(a,b)不取极值。　　(1)当A、C不同时为零，当A>0时(h看作变量)无论k取何值，二次函数D=Ah2+2Bhk+Ck2有最小值D=k2(AC-B2)A≤0，当k≠0时，D最小值0即D在点P(a,b)的邻域G内变号，也就是f(x

4、,y)-f(a,b)在点p(a,b)的邻域G内变号，故f(x,y)在点p(a,b)不取极值，同理C>0时f(x,y)在点p(a,b)不取极值。　　(2)当A>0时(h看作变量)无论k取何值，二次函数D=Ah2+2Bhk+Ck2有最大值D=k2(AC-B2)A≥0，当k≠0时，D最小值0，故D在点p(a,b)的邻域内变号，也就是f(x,y)-f(a,b)在点p(a,b)的邻域G内变号，故f(x,y)在点p(a,b)不取极值。同理C>0时，f(x,y)在点p(a,b)不取极值。　　(3)当A=0,C=0时，D=2Bhk(B为常数不妨设B>0)而k0时，D0，h>0时，

5、D>0；D在点P(a,b)的邻域内变号，也就是说f(x,y)在点P(a,b)不取极值。　　证法二因为f(x,y)-f(a,b)与D=Ah2+2Bhk+Ck2的符号相同，现在只考查D的符号。　　I.当Δ=B2-AC0（或C>0）时D>0，故f(x,y)在点P(a,b)取极小值　　(2)当A>0（或C>0）时D0.　　(1)若A≠0，取h≠0，k=0，有D=Ah2，D与A同号；取h=BAk(k≠0)有D=B2-ACA，D与A异号，故D在点P(a,b)的邻域G内变号，所以f(x,y)在点P(a,b)不取极值。　　(2)若A=0，C≠0则B≠0，取k≠0，h=0，有D=C

6、k2即D与C同号；取h=CBk(k≠0)有D=-Ck2>0，即D与C异号，故f(x,y)在点P(a,b)不取极值。　　(3)若当A=0，C=0则D=2Bhk，取h>0k0)则C0k>0，则D>0，故D在点P(a,b)的邻域内变号，所以f(x,y)不取极值。