二元函数极值存在的判别方法概要

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1、大庆师范学院本科毕业论文大庆师范学院本科生毕业论文二元函数极值存在的判别方法院（系）数学科学学院专业数学与应用数学研究方向数学教育学生姓名韩明学号200801052602指导教师姓名夏晶指导教师职称副教授2012年6月1日10大庆师范学院本科毕业论文摘要在生活、生产、经济管理和各种资金核算中，常常要解决在一定的条件下怎么使投入最小、产量最大、效益最高等等问题.因此解决这些问题具有现实意义.这些经济和生活的问题常常都可以转化为数学中的函数问题来探讨，将问题数字化，简单、精确，进而转化为求函数中最大（小）问题，即函数的极值问题.因此，对函数极值问题的探讨具有十分重要的意义.本文主要

2、探讨了二元函数极值存在的充分条件、必要条件的判定方法，以及如何求解，并对结果进行了简要的证明.关键词：二元函数；极值；驻点；条件极值10大庆师范学院本科毕业论文AbstractInindustrialandagriculturalproduction,managementoftheeconomyandtheeconomicaccounting,weoftensolvetheproblemssuchashowtomakeinputsmallest,outputmostefficientingivenconditions.Inthelifeweoftenencounterhowto

3、achievemaximumprofit,usetheminimummaterialsandgetmaximumefficiency,todealwiththesimilarproblemsthathaveitsrealisticsignificance.Aboveproblemscanbetransformedwithfunctionanditsfunctionofmaximumandminimumvalue.Theconceptofextremevalueoriginatefromfunctionofmaximumandminimumvalueofmathematics,t

4、hereforeapproachingtheextremevaluehavesignificancemeanning.Keywords:function;extremevalue;stagnation;conditionalextremum10大庆师范学院本科毕业论文目录第一章前言11.1简述极值问题11.2二元函数的概念11.3二元函数的极值21.3.1极值存在的必要条件21.3.2极值存在的充分条件2第二章二元函数求极值的方法42.1无条件极值问题42.2条件极值问题5第三章二元函数极值的意义8参考文献910大庆师范学院本科毕业论文第一章前言1.1简述极值问题函数极值问题是

5、一个非常普通的数学问题，但在实际生活中却是非常重要的应用.本文主要参照一元函数的研究方法研究了二元函数的极值，得出了二元函数极值存在的判定方法.极值的概念来自数学应用中的最值问题.定义在一个有界闭区域上的每一个连续函数都必定达到它的最大值和最小值，问题的关键在于要确定它在哪点处达到最大值或最小值.如果不是边界点就一定是内点，因而是极值点.1.2二元函数的概念二元函数是含有两个自变量的函数，它是函数的一种类型，可视为一元函数概念的一种推广.定义1在某个变化过程中，存在三个变量，，，若对，的每一对数值总有唯一的数值与其对应，则就叫做与的函数，与的取值范围叫定义域（亦称可微域）.例如

6、：路程就是其速度与时间的二元函数.三角形面积就是其底与高的二元函数.二元函数的定义很好理解，二元函数极值的判别与求法是二元函数的重点以及难点.例如，在全平面内可微，则在处有极大值，在处有极大值.此二元函数虽然在点处从轴方向和轴方向来看都有极大值，但在处不是极大值.我们可知一元函数极值的确定只需考虑在左右侧的导数情况即可以得出相关结论.但在二元函数中情况就较为复杂.1.3二元函数的极值定义2设函数在点的某邻域内有定义，且在该邻域内恒有，，则称为函数的极大值（小）值。这里极大值与极小值我们统称为极值，函数取得极值的点称为极值点.由以上定义可以得知，函数的极大值与极小值问题是一个“局

7、部性”的问题，或者说，函数在极值点处取到极大值，此时的“极大”只在这一点周围很小的范围内，也只有在这个范围内，取得的函数值才是最大的.10大庆师范学院本科毕业论文例如：，对任意有>，所以函数在处取得极小值.又如：对任意不等于有<，所以函数在处取得极大值.那么在一般条件下怎样判断二元函数极值是否存在呢？参考一元函数的极值的讨论方式，对二元函数极值有如下讨论结果.1.3.1极值存在的必要条件定理1(极值存在的必要条件)若函数在处有极值，且函数在该点的一阶偏导数都存在，则有.证：因为点是函数的极值