极值存在定理.doc

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1、极小点的判定条件（一）内点为极小值点的判定条件（求，）一、一般条件定理1（一阶必要条件）设具有一阶连续偏导数，是的内点，若是的局部极小点，则定理2（二阶必要条件）设具有二阶连续偏导数，若是的内点且为的局部极小点，则是半正定的。定理3（二阶充分条件）设具有二阶连续偏导数，为的内点，且，若正定，则为的严格局部极小点。定理4（二阶充分条件）设具有二阶连续偏导数，且，若存在的邻域使对，都有半正定，则为的局部极小点。二、凸规划极值判定条件凸规划问题：非空凸集上的凸函数的极小化问题。定理5设为凸集上的凸函数，则（1）的任一局部极小点为全局极小点；（2）若可微，且存在，使，则为

2、在上的全局极小点；（3）若为严格凸函数，且全局极小点存在，则必唯一。定理6考虑如下特殊的凸规划问题：正定二次函数，则为唯一的全局极小点。（一）边界点为极小值点的判定条件考虑一般的非线性规划(NP)：（1）一、一般条件定理1（K—T条件）（或一阶必要条件）：设是（NP）的局部极小点，在点处可微，且点处的全部起作用约束的梯度线性无关（即是正则点），则存在实数，使下述条件成立（*）二、凸规划极值判定条件考虑凸规划问题：s.t.（2）其中，是可微凸函数，是可微凹函数，是线性函数。定理2（凸规划的极值）：若是凸规划（2）的K—T点，则为全局极小点。注：线性函数既可视为凸函数

3、，又可视为凹函数。三、等式约束极值判定条件（3）定理3：（一阶必要条件）假设（1）为等式约束(3)的局部极小点；（2）在的某邻域内连续可微；（3）线性无关。则存在使得（**）定理4（二阶充分条件）假设（1）是二阶连续可微函数；（2）存在与使得式（**）成立；（3）关于的海色矩阵在切子空间上正定。则点是问题(3)的严格局部极小点。四、线性约束的（NP）问题极值判定条件考虑如下线性约束的（NP）问题（4）定理5：在约束问题（4）中，假设i）是容许点；ii），使得，；iii）和的行向量线性无关（即起作用约束的梯度线性无关）；iv）是如下线性规划的最优解：s.t.（***

4、）其中，。则点为K—T点的充要条件是。五、几何最优性条件考虑不等式约束问题（5）定理6（几何最优性条件）：设是问题（2）的一个局部极小点，目标函数在处可微，且1°（）在处可微；2°（）在处连续。则在处不存在容许下降方向，即不存在方向满足（****）六、线性规划问题的极值条件最优性检验判别数：用非基变量表示的目标函数式中，各非基变量的负系数，即称为各非基变量的判别数。1º最优解判别定理：若在极小化问题中，对于某个基本容许解，所有判别数，且人工变量为0，则该基本容许解是最优解。2º无穷多最优解判别定理：若在极小化问题中，对于某个基本容许解，所有判别数，又存在某个非基变

5、量的判别数为0，且人工变量为0，则该线性规划问题有无穷多最优解。3º无容许解判别定理：若在极小化问题中，对于某个基本容许解，所有判别数，但人工变量不为0，则该线性规划问题无容许解。4º无有限最优解判别定理：若在极小化问题中，对于某个基本容许解，有一个非基变量的判别数，但列中没有正元素，且人工变量为0，则该线性规划问题无有限最优解。