极值的概念与费马定理

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1、第4章微分中值定理和导数的应用【第4章导谢我们学习了导数与微分的概念，并掌握了初等函数与某些特殊函数的求导运算.本章主要介绍导数在研究函数性态和解决有关实阿题的应用，给出利用导数解决一些体題的一般方法.由于导数只是反映了函数在一点的性质为了将其与函数在某个范围上的性态联系起来,就需要寻找它们之间的一橈梁,微分中值定理就承担了桥梁的作用，它是导数应用的理论翩§4.1极值与极值点【导语【正文】一、极值与极值点概念定义1设函数f(x)在X=Xo的某个邻域(Xo®中有定义.如果对任滋U(Xo,0，都有()()fX>fX成立，则称X

2、o是函数f(x)的一个极小值点,0如果对任灿(XoQ,都有()f(X)称为函数f(X)的一个极小值;0()X

3、fifx)v41当XX0-时，因为f(x)-f(x)<0,x・Xo<0,0二、费马（Fermat）定理在图中，假逹縛线y=f（x）除了端点外，处处都有切线.从图中可以看出在局部最高（X,f（X））和（X,f（X））,1133以及在局部最低点（x,f（x））和（X,f（X））,曲线的切线都是水平的.2244定理1如果函数£“）在乂处可导，且在Xo处取得极值，那么函数f（x）在X。处的导0数为零,Hxo）=0.证不妨假哄X）是极大值.0因为函数f（X）在点Xo处可导，所以f・{Xo）与f*Xo）均存在，且)0XXO)0X(+f

4、所以根据极限的局部保号性，可知f(x)・f(x)0f(x)=lim>0.-0X-Xx->x00当XX0T时，因为f(x)・f(x)s0,x・Xo>0,0所以根据极限的局部保号性，可知f（x）・f（x）0f（x）=lim0<+oX-Xx->xo0综上可知f（Xo）二0・导数等于零的点称为函数的驻点或临界点・费马定理说明，函数的可导极值点一定是驻点.驻点是否一定是极值点呢函数f(x)=X3在x=0处的导数为零，但=0却不是它的极值点！导数不存在的点是否可以是极值点？函数f(x)=1xI在x=0处的导数不存在，怯0却是它的极小值

5、点！函数f(X)的极值点在f(x)=0或f(x)不存在的点中.例1求函数f(X)二2x3-15x2+24x+1的驻点。解市32川卜山f(x)=2x・15x+24x+1,得f(x)=6x・30x+24=6(x・1)(x・4)。令f(x)=0得驻点x=1x=4o例2求函数12f(x)=sinx・xcosx・x白勺驻，点。_2解由12f(x)二sinx・xcosx・x,得2f(好cosx-cosx4-xsinx-天x(sinx-1)oTT令f(x)二0得驻点x=0^x2mr-(n是整数)。2f(a)与f(b)之例3设函数f(x)

6、在[a,b]内可导.若f(a)*f(b)，则对于任意的希间的卩，总存在凰a,b),使得丨分析f()二？f()・二0?[f(x)・x]z=0o©pgpM§证令F=(x)f(x)・pc,贝ijF(a)F(b)<0.不妨设F⑻>0,F(b)<0由于F(a)>0,所以存在xie(a,b),使得F(xi)>F(a)；又因敗b)v°,所以存在X2e(xi,b),使得F(X2)>F(b)・因阳(x)wC[a,b],所以F(x)在区间[a,b]取得最大值F(§,且最大值点(a,b)内取到.根据Fermat定理可知F®f(卜刊0,艮卩f(§

7、二卩【本讲总结与讲蘇