第三节++泰勒定理+函数极值判定

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1、第三节泰勒定理，函数极值判定§3.1泰勒定理当一个函数给出了具体表达式后，有的函数值并不是很容易计算，例如f(x)＝ex，f(0.312)＝e0^312，若用十进制表示，如果不借助计算器或查表是很难计算出来的。如何解决这一难题，多项式函数是各类函数中最简单的一种，因为它只需用到四则运算，从而使我们想到能否用多项式近似表达一般函数，实际上这是近似计算与理论分析的一个重要内容。若函数为n次多项式f(x)＝a０+a1（x-x０）＋a２（x-x０）２＋……＋an(x-x０)n(1)逐次求它在x=x０处的各阶导数，有f(x０)＝a０，f′（x０

2、）＝a１，f″（x０）＝2!，a２，……，f(n)(x０)＝n!an即a０＝f(x０)，a１＝f′（x０），a２＝……，an＝因而(1)式可写为f(x)=f(x０)+f′（x０）（x－x０）＋(x－x０)２＋……＋(x－x０)n(2)所以多项式f(x)的各项系数由其各阶导数值唯一确定对一般函数f(x)，若存在直到n阶导数，则按(2)式右端也可以相应地写出一个多项式，记作Pn(x)，则Pn(x)＝f(x０)＋(x-x０)＋(x-x０)２＋……＋(x-x０)n那么f(x)与Pn(x)之间有什么关系呢，由拉格朗日定理知，若f(x)在x

3、０的邻域内存在一阶导数，则f(x)－f(x０)＝f′(ζ)(x－x０)即f(x)＝f(x０)＋f′（ζ）(x－x０)若f(x)在x０的邻域内存在n+1阶导数，则f(x)=Pn(x)＋Ｋ（x－x０）n＋１k与f（n+1）（ζ）有关，因此，我们猜想f(x)=Pn(x)＋(x-x０)n+1因此，有定理(泰勒(Taloyr)定理)设函数f(x)在区间X上存在n＋1阶导数，对每一个x０∈X，则任给x∈X,有f(x)＝Pn(x)＋(x－x０)n＝f(x０)＋f′（x０）（x－x０）＋(x－x０)２＋……＋(x－x０)n＋(x-x０)n

4、(1)ζ介与x０，x之间的某一点。分析(1)式当n=0时，就是拉格朗日定理，由此启发我们采用类似拉格朗日的证法，选用k值法，构造函数，应用罗尔定理。证任给x∈X，这时x看成常数，且x≠x０设＝Ｋ(2)只需证明至少存在一点ζ介与x０，x之间，使k＝由(2)式知f(x)-［f(x０)＋f′(x０)(x-x０)＋(x-x０)２＋……＋(x-x０)n］－k(x－x０)n＋１＝０(3)构造函数φ(t)=f(x)-［f(t)＋f′（t）(x-t)＋(x-t)２＋……＋(x-t)n］－k(x-t)n＋１这里k与t无关，因此对t来说是常数

5、。由φ(x)=0,由(3)知，φ(x０)＝０，而φ(t)在［x０，x］(或［x１，x０］)上可导，所以φ(t)在该区间上也连续，由罗尔定理知，至少存在一点ζ介与x０，x之间，使φ′(ζ)＝０由φ′(t)=-［f′（t）－f′（t）＋f″（t）(x-t)-f″（t）(x-t)＋(x－t)２－(x-t)２＋(x-t)３＋……－(x-t)n-1＋(x-t)n］＋（n+1）k(x－t)n－＝(x-t)n＋(n＋1)k(x-t)n,有－(x-ζ)n＋（n+1）k(x－ζ)n＝０，ζ介与x０，x之间，且x≠ζ，有－（n+1）k＝０，即k＝因此

6、结论成立，(1)式称为函数f(x)在点x=x０处的阶泰勒公式(x-x０)(n＋1)称为n阶泰勒公式的拉格朗日余项，记作Rn(x)即Rn(x)＝(x-x０)(n-1)由ζ＝x０＋θ(x-x０)有Rn(x)＝(x-x０)(n＋1)０＜θ＜1Pn(x)＝f(x０)＋f′（x０）（x－x０）＋(x-x０)２＋……＋(x－x０)n称为n次泰勒多项式。若f(n+1)(x)在X上有界，即存在M＞0，对一切x∈X，有｜f（n+1）(x)｜≤M则用Pn(x)的近似表示函数f(x),则误差｜f(x)－Pn(x)｜＝｜Pn(x)｜≤｜x-x０｜n

7、+1如果x０＝０，则f(x)=f(0)＋f′(0)x+x２＋……＋xn＋xn＋１(4)ζ介与o，x之间，这个公式称为马克劳林公式，余项为Rn（x）＝xn+1＝xn+10＜θ＜1§3.2几个常数函数的马克劳林公式实际中最常用的还是马克劳林公式，因为这时的马克劳林多项式Pn(x)=f(0)＋f′(0)x+x２＋……＋xn更简单，计算更容易，而且有了函数的马克劳林公式以后，利用马克劳林公式可求出函数的泰勒公式。(1)f(x)=ex的马克劳林公式由f(n)(x)＝ex,则f（n）(0)＝e０＝１，f(n+1)θx＝e

8、θx代入公式(4)有ex=1+x+＋……＋＋xn+10＜θ＜1(2)f(x)=sinx的马克劳林公式由f(n)(x)＝s