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1、可番鶏二理字叹本科住学年総女论文题目函数极值的判定方法研究学生姓名学生学号200990014010专业名称数学与应用数学指导教师数学系年12月9日函数极值的判定方法研究(宝鸡文理学院数学系，陕西宝鸡721013)摘要:函数的极值是导数应用的一个重要内容，是数学分析的一个重要问题。但是一般教材并没冇对此作出具体，深入的讨论，尤其是多元函数极值问题。因此本文进一步对一元，二元和多元函数的极值的判定方法进行研究，其中偏导数法，二次型的理论，正定矩阵等方法比较常用。最后述举岀了与Z相关的最值问题,并将其运用于实际生活当中。关键词：函数极值偏导数法二次型正定
2、矩阵最值问题一元和二元函数的极值求解的方法很多，在学习过程中先后接触。但对于多元函数极值的问题书中没有捉及，本文试图通过归纳一元，二元函数极值的判定方法,将其推广到多元函数上，并口讨论了它在实际问题中的运用。一元函数极值的判定方法⑴定理卩(极值第一充分条件)设函数/(Q在点心处连续时，在某邻域t/°(x0;^)内可导(1)若当XW(如一/,兀0)时，/(x)<0,当XG(x0,x0+^),/'(x)>0,则/在点X。附近取得极小值。(2)若当XG(x0-J,x0)时,/(x)>0,当XG(x0,x0+J),/(x)<0,则/在点心附近取得极大值。例
3、1求函数f(x)=2x3-3x2的极值.解：因为函数的定义域为(-00,4-00)，又f(兀)=6兀(兀-1),令f(X)=0,解得西=0,兀2=1；列表得：X(―,0)0(0,1)1(A)/W+0—0+/(X)T极人值/(0)=01极小值/(1)=-1T所以函数/(X)在x=0处取得极大值/(0)=0,函数/(X)在X=1处取得极小值定理1®(极值第二充分条件)设/在兀o的某邻域U(x0;^)内一阶可导，在x=x0处二阶可导，且f(x())=O,厂G())hO(1)若广gvO，则/在点X。取得极大值。(1)若(兀)>0,则/在点勺取得极小值。例2
4、求/(x)=x2+—的极值点与极值。X•?r3-432解：当20时，f(x)=令厂0)=0,求得稳定点兀=6。又因:厂(6)=(2+竽)口=6>0,则由定理1⑵可知，x=6为/的极小值点，极小值/(6)=108o定理円(极值第三充分条件)设/在心的某临邻域内存在直到72-1阶导函数，在兀°处几阶可导,且严)(兀0)=0伙=1,2,...,几-1),严)Oo)HO,则:⑴当n为偶数时,/在兀。取得极值，且当严)(兀°)v0时取极大值,/0时取极小值。(2)当〃为奇数时，于在勺处不取极值。例3试求函数x4U-l)3的极值。4解：由厂(力
5、=疋(兀_1)2(7兀_4),因此x=0X-是函数的三个稳定点,/的二阶导数为/h(x)=6x2(x-1)(7x2-8x+2),由此得,厂(0)=厂(1)=044及厂>0,所以/(兀)在x=-时取得极小值。求三阶导数fM,(x)=6兀(35/-60x2+30兀一4)，有.厂(0)=0,厂”⑴>0,由于n=3为奇数，由定理廻知，/(兀)在x=l不取极值。再求/的四阶导数，/(4)(x)=24(35x3-45x2+15^-1),冇/⑷(0)<0,因为斤=4为偶数，故/在兀=0取得极大值。综上所述,/（0）=0为极大值,/(y)6912823543为极小
6、值。二.二元函数的极值的判定方法定理2⑴设二元函数/在点几（兀,儿）的某邻域“人）貝有二阶连续偏导数，且fM)fy.M几S)为f在点P0（xo07o）的黑赛矩阵。当Hf（PQ是正定矩阵时，/在人取得极小值；当Hfg）是负定矩阵时，/在£）取极大值；当Hf（P0）是不定矩阵时，于在几不取极值。例4求F（x,）；）=/+y2_4兀y+4兀+1的极值。解：Fx：=2x-4y+4,FY,=2y-4x,令Fx'=Fy'=0,可求得稳定点(彳,彳),2424^•(-,-)=^'(-,-)=2'2-4、<-42丿卞（訂）=卞（鼎）=一4矩阵正定，曲定理2⑴知,F
7、（-,-）=^为其极小值。定理2⑵设点（兀o』o）是函数Z=f（x,y）的驻点，且在点（兀0，儿）某邻域内具有连续的二阶偏导数。记：则：（1）当A<0时,D_j/CWo）,c二带/（兀o』o）,A=AC-B2,dxdyd2y点（x0,y0）不是函数极值点,即:当人（人））>0,（人几-〃）（即>0时,则在q处取极小值;⑵当△〉（）时，若A>0,则点（兀0，九）是函数极小值点，若4<0,则点（兀o，）b）是函数极大值点,B
8、j：当九S）vO,（ZX_£/）（%）>0时,则在人处取极大值；当（人厶-fx>2mv0时,f（x9y）在P。处不取极值;⑶当A
9、=0时，不能用该方法判定，BIJ：当（九』、丁-/『）（«）vO时，不能肯定/（%,>'）是否在C取极值。例5求f(x,y
