泰勒公式与极值问题

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1、第十七章　多元函数微分学　　　　　　　　　　　　　　　§４　泰勒公式与极值问题§4　泰勒公式与极值问题教学计划：６课时．教学目的：让学生掌握多元函数高阶偏导数的求法；二元函数的中值定理和泰勒公式；二元函数取极值的必要和充分条件．教学重点：高阶偏导数、泰勒公式和极值的判定条件．教学难点：复合函数高阶偏导数的求法；二元函数的泰勒公式．教学方法：讲授法．教学步骤：一　高阶偏导数　　由于的偏导函数仍然是自变量与的函数，如果它们关于与的偏导数也存在，则说函数具有二阶偏导数，二元函数的二阶偏导数有如下四种情形：　□注意从上面两

2、个例子看到，这些函数关于x和y的不同顺序的两个二阶偏导数都相等（这种既有关于x又有关于y的高阶偏导数称为混合偏导数），即但这个结论并不对任何函数都成立，例如函数　　它的一阶偏导数为进而求f在（0，0）处关于x和y的两个不同顺序的混合偏导数，得　　　　．由此看到，这里的在原点处的两个二阶混合偏导数与求导顺序有关，那么，在什么条件下混合偏导数与求导顺序无关呢？为此，我们按定义先把表示成极限形式．由于第十七章　多元函数微分学　　　　　　　　　　　　　　　§４　泰勒公式与极值问题　　因此有　　　　　　类似地有　　为使成立，

3、必须使这两个累次极限相等，即以交换累次极限的极限次序.下述定理给出了使极限相等的一个充分条件．　　定理17.7　若都在点连续，则　　　　　　　　　　　　　　证　令　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　于是有　　　　　　　　由于函数存在关于的偏导数，所以函数可导。应用一元函数的中值定理，有　　　　　　又由存在关于的偏导数，故对以为自变量的函数应用一元函数中值定理，又使上式化为　由则有　　　　　　　(5)如果令则有　　　　　．用前面相同的方法，又可得到　　　　第十七章　多元函数微分学　　　　　　　　　　

4、　　　　　§４　泰勒公式与极值问题（0）　　　（6）当不为零时，由（5），（6）两式得到（）　　（7）由定理假设在点连续，故当时，(7)式两边极限都存在而且相等，这就得到所要证明的(3)式．　　这个定理的结论对元函数的混合偏导数也成立。如三元函数，若下述六个三阶混合偏导数在某一点都连续，则在这一点六个混合偏导数都相等；同样，若二元函数在点存在直到阶的连续混合偏导数，则在这一点阶混合偏导数都与顺序无关．　　今后除特别指出外，都假设相应阶数的混合偏导数连续，从而混合偏导数与求导顺序无关．　　下面讨论复合函数的高阶偏导数

5、．设是通过中间变量而成为的函数，即　　　　　　　　　　　　　　　其中，若函数都具有连续的二阶偏导数，则作为复合函数的对同样存在二阶连续偏导数。具体计算如下：　　　　　　　　　　　　　　　　显然与仍是的复合函数，其中是的函数，是的函数。继续求关于的二阶偏导数　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　同理可得第十七章　多元函数微分学　　　　　　　　　　　　　　　§４　泰勒公式与极值问题　　　　　　　　　　　　　例3　设，求，　　解　这里是以和为自变量的复合函数，它也可以改写成如下形式：　由复合函数求导公式有　注意，这里仍

6、是以为中间变量为自变量的复合函数．所以　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　□　二　中值定理和泰勒公式　　二元函数的中值公式和泰勒公式，与一元函数的拉格朗日公式和泰勒公式相仿，对于元函数也有同样的公式，只是形式上更复杂一些．　　在叙述有关定理之前，先介绍凸区域的概念．　　若区域D上任意两点的连线都含于D，则称D为凸区域（图17－6）．第十七章　多元函数微分学　　　　　　　　　　　　　　　§４　泰勒公式与极值问题这就是说，若D为凸区域,则对任意两点和一切，恒有　　　　　　　　　　

7、定理17.8（中值定理）　设二元函数在凸开域上连续，在D的所有点内都可微，则对D内任意两点，存在某，使得　　　　　　　　　　　　　　　　　　(8)　　证　令它是定义在上的一元函数，由定理中的条件知在上连续，在内可微．于是根据一元函数中值定理，存在使得　　　　　　　　　　　　　（9）　　　　　　　　　　　　由复合函数的求导法则　　　　　　　　　　　　　　（10）由于D为凸区域，所以，故由（9），（10）即得所要证明的（8）式．　　注意　若D是闭凸域，且对D上任意两点及任意，都有　　　　　　　则对D上连续，内可微的函数

8、，只要，也存在使（8）式成立．例如D是圆域，在D上连续，在内可微，则必有（8）式成立，倘若D是矩形区域，那就不能保证对D上任意两点都有（8）式成立（为什么？）．公式（8）也称为二元函数（在凸区域上）的中值公式．它与定理17.3中值公式(12)相比较,差别在于这里的中值点是在的连线上,而在定理17.3中与可以不相等．推论　若函数在区域D上存在偏导数，且