5韩国平考研串讲之定积分

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1、CH5定积分（15~18）一、重要概念、公式（一）定积分的定义及几何意义1、2、几何解释注：，只与积分区间和被积函数有关，而与自变量用哪个字母表示无关.3、定积分的存在性：如果在上连续，或有界且只有有限个第一类间断点，则存在.（二）定积分的性质1、被积函数代数和的定积分等于定积分的代数和；2、被积函数的非零常数因子可以提到积分号外；3、定积分具有区间可加性；4、如果，则;5、如果在上连续，且分别为其最小值、最大值，则；6、；7、定积分中值定理：如果上连续，则在内至少存在一点，使；（三）定积分的换元积分法和分部积分法1、可变限函数求导：如果在相应区间上连续，可导，则。注：连续函数一定存在原

2、函数如连续，则即为其原函数2、牛顿—莱布尼兹公式如果函数是连续函数在上的一个原函数，则：注：此公式说明要求定积分两步：（1）求原函数；（2）代公式3、换元积分法如果函数在区间上连续，函数满足：21（1）；（2）在或上具有单调连续导数且其值域，则注：（1）定积分的换元积分法换元必换限，换后接着算。下限对应下限，上限对应上限（2）条件，单调可导4、分部积分法注：边运算边代值（四）常用公式1、2、如果为周期为的周期函数，则，3、4、5、6、积分不等式平方的积分结构（五）定积分的应用1、平面图形面积：；；；2、旋转体的体积：；；；；；3、平面曲线的弧长：（1）；（2）；（3）；214、变力作功5

3、、静液压力6、引力7、平均值（六）广义积分（1）无穷区间；（2）无界函数二、重要考点1、计算定积分其步骤：（1）确定区间的对称性及被积函数的奇偶性、周期性.（2）运用定积分的性质及换元积分法和分部积分法进行计算.1.2.计算积分.解原式===.3积分的值是[D](A)0(B)(C)8(D)4设求解：此题被积函数含可变限函数，因此利用分部积分原式=5.满足方程的连续函数(x)=217.设函数满足且则.2、变上限求导问题一般步骤：（1）作代换并化简整理(2)能提出先提出(3)运用求导法则3、定积分等式证明（1）考虑换元积分，根据被积函数的结构特点和积分区间确定代换。（2）分部积分假设在上连续

4、，为偶函数，且满足条件(为常数)（1）证明；（2）利用（1）的结论计算定积分4、积分不等式的证明：常用方法：（1）考虑被积函数的最大、小值，然后利用估值定理；（2）对被积函数作适当放大，缩小然后运用估值定理；（3）运用积分中值定理及柯西公式。（1）中值定理（2）积分公式设在上连续，且单调增加，证明：证：令21所以单调增加，故当时，，5、平面图形的面积：先画图后计算6、旋转体的体积：已知曲线与直线,且曲线在上与轴所夹部分面积为,将绕轴旋转所得立体的体积为,直在上与轴所夹面积为,将绕轴旋转所得立体体积为,已知,求的值,使最小5.解由题意知由所以当时,取极小值,也是最小值7、平面曲线的弧长：8

5、、求变力做功、静液压力、引力9、广义积分求广义积分的步骤（1）确定类型（无穷，无界）（2）求定积分（3）求极限21计算10判定广义积分敛散性（多项式商式）a、确定b、a、确定的分母分子中x-a的最低次数的差p.b、由p与1的关系给出结论.发收敛.Ch6空间解析几何(2~6)一、重要考点1、向量的运算：2．求曲面方程：其步骤为（1）在曲面上任取一点（2）由此点所满足的条件建立方程3、求平面方程（1）4求直线方程：CH7多元函数微分学（8~14）一、重要概念、公式多元函数的偏导数及复合函数偏导数、隐函数求导法1、偏导数：设函数在点的某一邻域内有定义，如果极限21存在，则称此极限为在点处对的偏

6、导数，记作：注：（1）分段函数分段点的偏导数必用定义；（2）偏导与连续之间无关；（3）为一整体符号；（4）从几何上解释为曲面与的交线在处的切线与轴夹角正切。2、高阶偏导数：若函数的二阶混合偏导数和都在点连续，则注意：条件高阶偏导连续相等。3、全微分：（1）如果函数在点处的全增量可表示为，其中不依赖于，，则称处可微，此时叫作在点处的全微分，记作，即；注：①全微分是自变量与的线性函数；②全微分与全增量之差，当时，是比高阶无穷小；③可微连续；④可微偏导，连续、偏导是可微的必要条件、（2）必要条件：若函数在点处可微，即在点的全增量可表示成，则，都存在。且（3）充分条件：若函数的两个偏导数在点处连

7、续，则函数在点处可微。4、复合函数微分法：如果在对应点处可微，且的偏导数都存在，则复合函数21在点对的偏导数存在，且；设具有连续偏导数，也具有连续偏导数，则复合函数在点处的全微分为：；全微分的运算公式：；(c为常数)；；；。5、隐函数及其微分法（三）偏导数的应用1、空间曲线的切线与法平面：（1）曲线：，其中，，都是可导函数，且不全为0，则切线方程为：，法平面方程为：；（2）曲线：切线方程为：，法平面方程为：；（3）曲线：切线方程为：