韩国平考研串讲之函数极限连续

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1、数学解题口诀不熟悉的问题熟悉化复杂的问题简单化就近分析能做乘法不做除法能做加法不做减法难后期复习应注意的问题以做题带动全面做历年真题通过做全真模拟题系统复习基础知识每套模拟题做两个半小时然后用半个小时总结复习Ch1函数极限连续（8~18）一、重要概念、公式(一)函数的性质（单调性、周期性、奇偶性、有界性）(1)单调性：对于函数，如果对，有或（），则是单调增加（单调减少）。注：1º对可导函数，常通过判定：单增，单减；2º函数不具体的非可导函数，必用定义。(2)周期性：对于，如果存在常数，使，则为周期函数。注：①常见函数周期：和

2、，周期为；和，周期为②如以为周期，则以为周期；③如以为周期且可导，则以为周期，反之不真，即如为周期函数，其原函数不一定是周期函数，如。周期函数不一定可导④如以为周期，则⑤以为周期，则-10-(3)奇偶性：对于，如果，则偶函数；如果，则奇函数注：①　讨论奇偶性必注意区间对称性及与的关系；②(偶)′＝奇，(奇)′＝偶；③　偶函数的原函数不一定是奇数，但奇函数的原函数是偶函数；④　奇±奇＝奇（不等），偶＋偶＝偶，奇＋偶不定奇·奇＝偶，偶·偶＝偶，奇·偶＝奇（偶≠0）(4)有界性：对于，如果存在，使，则称有界，有上界；有下界注：①　

3、有界既有上界又有下界；②　常见函数的有界性：，，，，，；③闭区间上的连续函数一定有界；④　极限存在必局部有界，指点的附近。（二）复合函数、反函数、分段函数1、复合函数：假设，，则是由，复合而成的复合函数。注：的值域与的定义域的关系：仅当的值域包含在的定义域内时才可复合。例：，，仅当时，才可复合。2、反函数：由求，即得反函数注：①单调连续反函数，其单调性相同；②单调可导函数的反函数必可导。③单调可导函数的反函数凹凸性不定，单调增加的不同。单调减少的一致3、分段函数：　　在定义域内函数表达式不同。注：与，分段点；；　，分段点；，

4、分段点；整数的点带极限的函数-10-（三）极限定义及左极限、右极限与极限的关系1、定义：，，注：(1)的方式是任意的：表示是为了确定函数关系；表示是为了确定函数关系；(2)表示当非常小时，也非常小；(3)当足够大时，与的差足够小2、极限与左、右极限的关系：左极限＝右极限极限存在(1)在分段函数分段点的极限必用此结论；(2)，3、存在，为任何以为极限的数列注：此结论常用在证明极限不存在。（四）极限的性质　1、保号性(1)，则在的某一邻域内，(2)，则在的某一邻域内，2、局部有界性如果存在，则在附近，有界3、唯一性极限存在必唯一

5、（五）无穷大无穷小1、定义（1）如果，则称在中为无穷小量注：①无穷小是一个变量，并不是很小的数②一个函数是否为无穷小，与自变量的变化趋势有关例：时，为无穷小时，不为无穷小（2）如果对存在，时，有成立，则当时为无穷大。注：1º无穷大一定无界，但无界≠＞无穷大无穷大具有一致性2º时无穷小的倒数为无穷大，无穷大的倒数为无穷小。2、性质（1）有限个无穷小的代数和仍是无穷小（2）有界函数与无穷小的乘积是无穷小（3）有限个无穷小的乘积是无穷小3、无穷小的阶及等价无穷小的应用定理-10-（1）设在自变量的某变化过程中，都是无穷小1º如则称

6、是的高阶无穷小，记作2º如则称是的低阶无穷小3º如则与是同阶无穷小4º如则与是等价无穷小5º如则称是的k阶无穷小（2）等价定理如果～～则（3）无穷小与极限的关系注：此结论常用在求极限或证明题中。4、常用的等价无穷小当时注：（1）等价无穷小代换只能用在乘除的情况下（2）无穷小阶的讨论常用等价无穷小代换或泰勒展开式（3）如果是的阶无穷小　　是的阶无穷小　则是的阶无穷小（4）一般地，如果是的阶无穷小，则是的阶无穷小，是的阶无穷小；反之，如是的阶无穷小，推不出是的阶的结论。（六）极限运算法则及存在条件如果与存在，则-10-注：1、条

7、件的存在性2、3、（七）极限存在的两个准则及适用范围1、双边夹法则如果满足且，则对于函数，如果且则注：多项和形式的极限一般用双边夹法则。2、单调有界数列必有极限注：（1）己知递推公式求极限必用此结论（2）（八）连续定义及运算法则1、定义（1）设在的某一邻域内有定义，如果连续如果右连续左连续注：()函数在连续既左连续又右连续()函数不具体或分段函数的分段点必用定义（2）不连续点称为间断点间断点包括:1º无定义点；2º有定义但不存在的点3º存在但（3）间断点的分类第一类左右极限都存在的间断点1º左≠右跳跃2º左＝右可去间断点第二

8、类左右极限至少有一个不存在的间断点2、运算性质　（1）如果都在处连续，则1º也连续；2º；3º也连续（2）如果函数在区间上单调且连续，则其反函数也在相应区间-10-上单调且连续（3）设函数，当时，极限存在且等于，即，而函数在连续，则复合函数当时的极限也存在，且等于，即（4）设函数在点连续且