3韩国平考研串讲之级数

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1、CH10级数（8~10）一、重要概念、公式（一）数项级数1、绝对收敛，条件收敛注：收敛，则称绝对收敛；收敛，发散，则称条件收敛2、性质：（1）若收敛，其和为为常数，则也收敛，且其和为（2）若级数分别收敛于和，则也收敛，且收敛于注：如一发散，一收敛，则其代数和发散；如两发散，则结论不一定（3）在级数前面增加、减少或改变有限项，并不影响其敛散性，但级数收敛时，仅可能改变其和（4）收敛级数的各项按原次序分组加括号所得新级数仍收敛，且其和不变注：一个级数加括号所得新级数收敛，并不能说明原级数是否收敛；但加括号发散，原级数一

2、定发散（5）若级数收敛，则注：若，则发散3、定理及审敛法（1）正项级数收敛部分和数列有界；（2）比较审敛法：设都是正项级数：、若从某项起，有且收敛，则也收敛；、若从某项起，有且发散，则也发散设是两个正项级数，且，则同敛散注：对于正项级数可利用等价无穷小代换，只能用在(正项或负项)级数（3）比值审敛法：设有正项级数，若，则：-22-当时，级数收敛；时，级数发散注：含或的乘积形式（4）根值审敛法：设有正项级数，若，则：时，级数收敛；时，级数发散注：含以为指数的因子（5）交错级数审敛法：若交错级数满足：；，则该交错级数收

3、敛，且其和，其余项的绝对值（6）绝对收敛定理：若收敛，则也收敛注：改变绝对收敛级数项的次序所得的新级数仍绝对收敛，且与原级数有相同的和；设级数都绝对收敛，它们的和分别为和，则它们逐项相乘后，依任意方式排列所得级数仍绝对收敛，且其积为4、公式：（1）：时收敛，时发散；（2）：时收敛，时发散；（3）：时收敛，时发散；（二）函数项级数1、基本概念：（1）定义：（2）和函数：（3）幂级数：敛半径，收敛区间（4）泰勒级数：如果存在各阶导数，则称为泰勒级数2、定理公式：-22-（1）阿贝尔引理：若幂级数：当时收敛，则对的，；当

4、发散，则对的，发散注：收敛点是连成一片的（2）设是幂级数的收敛半径，且：当时，；时，；时，（3）幂级数的分析运算性质：设幂级数，其收敛半径为，则：和函数在内连续；和函数在内可导，且；和函数在内任何区间上可积，且注：逐项求导，逐项积分并不改变收敛半径，但可改变端点的敛散性（4）几个重要的麦克劳林展开式：；；；；；（5）泰勒定理：设在点的某个邻域内具有任意阶导数，则在处的泰勒级数在该邻域内收敛于的充要条件是：当时，在点的泰勒级数余项-22-注：在点的幂级数展开式（三）付立叶级数1、基本概念（1）三角级数：形如（2）正交

5、：对于在上有定义，如果，则称正交（3）付立叶系数：是周期为的周期函数：则，在上以为周期：，在上：，（4）付立叶级数：以付立叶系数构成的三角级数付立叶级数（4）正弦级数、余弦级数（奇偶延拓）只含正弦项的级数正弦级数；只含余弦项的级数余弦级数注：奇延拓正弦即：奇函数正弦偶延拓余弦偶函数余弦2、定理如在上满足：（1）连续或只有有限个第一类间断点；（2）至多有有限个极值点,则的付立叶级数在上收敛，且：为的连续点，为的间断点，为的端点，,二、重要考点1、判定级数审敛法-22-⑴判定不等于0发散。⑵判断是否为正弦级数，是按正项

6、级数审敛法。⑶⑷交错级数审敛法及运用性质讨论注：不具体一般用定义性质讨论。对于正项级数的敛散性，常用台勒展开及等价无穷小代换讨论。2求极限：3、求函数项级数的收敛区间、收敛域、收敛半径，其一般步骤为：（注：函数不具体一般考虑阿贝尔引理）（1）由，解出x的取值范围（a，b）。（2）讨论在端点的敛散性。（3）给出结论。若的收敛域是,则的收敛半径是.4、求数项级数的和，其步骤为：（1）构造幂级数，求出其收敛域（2）利用幂级数的分析运算性质，求出幂级数的和函数（3）代值计算注：整理逐项求导，整理逐项积分，5将函数展开成的幂

7、级数的一般步骤：（1）作代换；（2）利用求导、积分、代换整理化简将展开为u的幂级数；（3）将代入即得。6求其步骤（1）求的幂级数展开式-22-（1）由的系数，7函数的付立叶级数展开，其步骤：（1）判定f(x)的周期性、奇偶性（2）计算付立叶系数（3）写出付立叶级数，并由狄利克雷定理写出其和函数S(x)（4）如要求某个数项级数的和，则在s(x)中令x取某个特殊值。微分方程（8~12）一、重要概念、公式1、如果、是二阶线性齐次方程：的两个解，则也是它的解，其中是任意常数；2、如果是的两个线性无关的解，则就是该方程的通解

8、；3、如果是二阶非齐次线性方程：的一个特解，而是它对应的齐次方程的通解，则是该非齐次方程的通解；4、如果是的解，是的解，则的解二、重要考点1、一阶微分方程，其步骤：（1）确定类型（代换整理）（2）代公式求解注：含一般都可通过变量代换化为基本形式。具体为：可分离变量：齐次方程：转化为可分离变量则一阶线性微分方程：-22-公式：贝努利方程：令，则全微分方程：，则