2韩国平考研串讲之导数及微分

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1、串讲2ch2导数与微分（6~10）一(一)基本概念1、定义1：设函数在点的某邻域内有定义，如果存在，则称在点处可导，并称此极限为函数在点处的导数，记为，即，或，注意：①结构的一致性；②的方式的任意性定义2：左导数右导数定义3：导函数2、左导数、右导数、导数的关系左导数＝右导数导数注：（1）分段函数分段点的可导性，必用上述结论（2）在不可导，如，则在处可导（3）函数不具体，必用导数定义　（4）（5）（奇）′＝偶（偶）′＝奇（周期）′＝周期（6）单调，不一定单调3、导数的几何意义：表示在点切线斜率（1）切线方程（2）法线方程：4、可导与连续的关系：

2、　可导必连续，但连续不一定可导。5、高阶导数：(1)定义：二阶及二阶以上的导数(2)公式：１５6、微分（二）导数的运算法则1、设,都可导，则（1）；（2）；（3）2、反函数的导数：设是的反函数，且单调可导，则也单调可导，且3、复合函数的导数：如果在点可导，而在可导，则复合函数在点可导，且其导函数为4、常见公式：5、隐函数求导法6、由参数方程所确定函数的导数：，，三重要考点1、利用导数定义求导数注：1º分段函数分段点的可导性，必用定义2º函数不具体必用定义1、已知在上有定义，存在，且对任意的，恒有，求解：因为令，则１５由（*）可得当时，对上式取极

3、限，于是有即积分得将代入上式故2导数的几何意义确定点是否在曲线上代公式1设周期函数在内可导，周期为4，又，则曲线在点处的切线的斜率为（A）（B）0（C）-1（D）-2答：（　　）解：3已知可导性求待定常数1已知函数在内连续可导，则(A)(B)（C）(D)4求高阶导数(1)化简整理：有理函数分解成部分分式和,利用求导；三角函数利用积化和差化为)或(2)利用求导公式，求导法则求（也可利用前几阶导数总结规律，利用归纳法求导）1、设求解：将函数式改写为１５从而有2设求解：应用莱布尼茨法则可得：由此可知5隐函数求导的一般步骤（1）由要求的结果确定函数关系

4、（2）等式两端关于自变量求导，因变量看作自变量的复合函数（3）解方程已知求解：显然x=0时，y=1因此；而即得　6参数求导法设求。解：１５ch3.中值定理与导数应用（15~18）一、（一）罗尔定理如果在上连续，在内可导，且，则在内至少存在一点，，使注：1.条件是充分条件2.证含的导数等式常用罗尔定理3.条件缺一不可（二）拉格朗日中值定理:如果在闭区间上连续，在开区间内可导，则在内至少存在一点，，使注：1.函数值的改变量结构　2条件是充分条件，条件缺一不可3.4.罗尔定理是拉格朗日中值定理的特殊情况（三）柯西定理:如果在闭区间上连续，在开区间内可

5、导，且在内每一点均不为零，那么在内至少有一点，使注：1.两个函数的函数值的改变量比结构　2.条件是充分条件，条件缺一不可3.拉格朗日中值定理是柯西定理的特殊情况（四）泰勒定理如果在含有的某个开区间内具有直到阶导数，则当时其中注：1.　常见的泰勒展开式１５2.关于高阶导数问题（五）导数的应用1、极值：设函数在区间内有定义，是内一个点，如果存在点的一个去心邻域，对于这去心邻域内任何点都有则称为极大（小）值2、单调区间：使函数保持单调性的区间3、驻点：的点4、最大值，最小值与极值的关系：最值是整体概念，极值是局部概念；最值可在边界取得，但极值只能在内

6、部取得5、凹凸性的定义6、拐点：连续曲线上凹与凸的分界点7、渐近线（六）基本定理1、单调性的判定定理：设函数在上连续在内可导（1）如果在内，则在上单调增加（2）如果在内，则在上单调减少2、极值存在的必要条件：函数在点处可导，且在处取得极值，则3、第一充分条件：设在点的一个邻域内可导且１５（1）如果当时；当时则在处取得极大值（2）如果当时，当时，则在处取得极小值（3）如果在两侧，符号不变，则在处不取极值注：不存在的点或不易求的点常用此定理4、第二充分条件：设在处具有二阶导数，且则（1）当时，取极大值；（2）当时，取极小值。注：1º驻点2º二阶导函

7、数易求5、函数凹凸性的判定定理：在上连续，在内具有二阶导数（1）若，则在上是凹的（2）若，则在上是凸的6、曲率的计算公式：二重要考点1不等式的证明函数值的改变量的不等式证明常用中值定理己知在内可导，且，求的值解：由条件易见c≠0由拉格朗日定理，有其中ξ介于x-1与x之间，那么于是，e2c=e，故2证明含的函数导数的等式其一般步骤（1）由条件和结论（将结论中的用代替）构造函数（2）利用罗尔定理（3）整理，得结论１５1、设函数在区间上连续，在内可导，且试证：（1）存在，使（2）对任意实数，必存在，使得证：（1）令，则在［0，1］上连续，又，＞0，故

8、由闭区间上连续函数的介值定理知，存在，使得（2）设则F(x)在［0，η］上连续，在（0，η）内可导，且即在上满足罗尔定理的条件，故存在，使得3证明含的