韩国平考研串讲之级数.doc

韩国平考研串讲之级数.doc

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1、CH10级数(8~10)一、重要概念、公式(一)数项级数1、绝对收敛,条件收敛注:收敛,则称绝对收敛;收敛,发散,则称条件收敛2、性质:(1)若收敛,其和为为常数,则也收敛,且其和为(2)若级数分别收敛于和,则也收敛,且收敛于注:如一发散,一收敛,则其代数和发散;如两发散,则结论不一定(3)在级数前面增加、减少或改变有限项,并不影响其敛散性,但级数收敛时,仅可能改变其和(4)收敛级数的各项按原次序分组加括号所得新级数仍收敛,且其和不变注:一个级数加括号所得新级数收敛,并不能说明原级数是否收敛;但加括号发散,原级数一定发散(5)若级数收敛,则注:若,

2、则发散3、定理及审敛法(1)正项级数收敛部分和数列有界;(2)比较审敛法:设都是正项级数:、若从某项起,有且收敛,则也收敛;、若从某项起,有且发散,则也发散设是两个正项级数,且,则同敛散注:对于正项级数可利用等价无穷小代换,只能用在(正项或负项)级数(3)比值审敛法:设有正项级数,若,则:当时,级数收敛;时,级数发散注:含或的乘积形式(4)根值审敛法:设有正项级数,若,则:时,级数收敛;时,级数发散注:含以为指数的因子(5)交错级数审敛法:若交错级数满足:;,则该交错级数收敛,且其和,其余项的绝对值(6)绝对收敛定理:若收敛,则也收敛注:改变绝对收

3、敛级数项的次序所得的新级数仍绝对收敛,且与原级数有相同的和;设级数都绝对收敛,它们的和分别为和,则它们逐项相乘后,依任意方式排列所得级数仍绝对收敛,且其积为4、公式:(1):时收敛,时发散;(2):时收敛,时发散;(3):时收敛,时发散;(二)函数项级数1、基本概念:(1)定义:(2)和函数:(3)幂级数:敛半径,收敛区间(4)泰勒级数:如果存在各阶导数,则称为泰勒级数2、定理公式:(1)阿贝尔引理:若幂级数:当时收敛,则对的,;当发散,则对的,发散注:收敛点是连成一片的(2)设是幂级数的收敛半径,且:当时,;时,;时,(3)幂级数的分析运算性质:

4、设幂级数,其收敛半径为,则:和函数在内连续;和函数在内可导,且;和函数在内任何区间上可积,且注:逐项求导,逐项积分并不改变收敛半径,但可改变端点的敛散性(4)几个重要的麦克劳林展开式:;;;;;(5)泰勒定理:设在点的某个邻域内具有任意阶导数,则在处的泰勒级数在该邻域内收敛于的充要条件是:当时,在点的泰勒级数余项注:在点的幂级数展开式(三)付立叶级数1、基本概念(1)三角级数:形如(2)正交:对于在上有定义,如果,则称正交(3)付立叶系数:是周期为的周期函数:则,在上以为周期:,在上:,(4)付立叶级数:以付立叶系数构成的三角级数付立叶级数(4)正

5、弦级数、余弦级数(奇偶延拓)只含正弦项的级数正弦级数;只含余弦项的级数余弦级数注:奇延拓正弦即:奇函数正弦偶延拓余弦偶函数余弦2、定理如在上满足:(1)连续或只有有限个第一类间断点;(2)至多有有限个极值点,则的付立叶级数在上收敛,且:为的连续点,为的间断点,为的端点,,二、重要考点1、判定级数审敛法⑴判定不等于0发散。⑵判断是否为正弦级数,是按正项级数审敛法。⑶⑷交错级数审敛法及运用性质讨论注:不具体一般用定义性质讨论。对于正项级数的敛散性,常用台勒展开及等价无穷小代换讨论。2求极限:3、求函数项级数的收敛区间、收敛域、收敛半径,其一般步骤为:(

6、注:函数不具体一般考虑阿贝尔引理)(1)由,解出x的取值范围(a,b)。(2)讨论在端点的敛散性。(3)给出结论。若的收敛域是,则的收敛半径是.4、求数项级数的和,其步骤为:(1)构造幂级数,求出其收敛域(2)利用幂级数的分析运算性质,求出幂级数的和函数(3)代值计算注:整理逐项求导,整理逐项积分,5将函数展开成的幂级数的一般步骤:(1)作代换;(2)利用求导、积分、代换整理化简将展开为u的幂级数;(3)将代入即得。6求其步骤(1)求的幂级数展开式(1)由的系数,7函数的付立叶级数展开,其步骤:(1)判定f(x)的周期性、奇偶性(2)计算付立叶系数

7、(3)写出付立叶级数,并由狄利克雷定理写出其和函数S(x)(4)如要求某个数项级数的和,则在s(x)中令x取某个特殊值。微分方程(8~12)一、重要概念、公式1、如果、是二阶线性齐次方程:的两个解,则也是它的解,其中是任意常数;2、如果是的两个线性无关的解,则就是该方程的通解;3、如果是二阶非齐次线性方程:的一个特解,而是它对应的齐次方程的通解,则是该非齐次方程的通解;4、如果是的解,是的解,则的解二、重要考点1、一阶微分方程,其步骤:(1)确定类型(代换整理)(2)代公式求解注:含一般都可通过变量代换化为基本形式。具体为:可分离变量:齐次方程:转

8、化为可分离变量则一阶线性微分方程:公式:贝努利方程:令,则全微分方程:,则为全微分方程:通解1.已知在上有定义,对于任意的

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